Jednačina prave na rastojanju od tačke

PostPoslato: Subota, 13. Januar 2018, 18:45
od Jovan111
Poštovanje.

Zad: Odrediti jednačine pravih koje sadrže tačku [inlmath]A(2,5)[/inlmath] i čije je odstojanje od tačke [inlmath]N(5,1)[/inlmath] jednako [inlmath]3[/inlmath].




Hvala najlepše na pomoći (nema potrebe da neko radi moje zadatke, samo smernice)

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

PostPoslato: Subota, 13. Januar 2018, 21:20
od Daniel
Za početak, znaš li kako u ravni izgleda geometrijsko mesto tačaka koje su od neke fiksne (zadate) tačke udaljene za neko rastojanje [inlmath]d[/inlmath]?

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

PostPoslato: Subota, 13. Januar 2018, 23:04
od Jovan111
Taj termin "geometrijsko mesto" mi nije baš najjasniji, pokušavao sam da nađem na internetu pojašnjenje, ali mi je i dalje nejasno (klasa tačaka koje imaju jednu ili više zajedničkih osobina?). Ali ipak, to bi trebalo da bude prava koja je paralelna pravoj kroz datu tačku. Pa ako su te dve prave paralelne, onda imaju iste koeficijente pravca pa (pretpostavljam) mogu napisati:
[dispmath]a\colon y-5=k(x-2)\\
n\colon y-1=k(x-5)[/dispmath]

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

PostPoslato: Utorak, 16. Januar 2018, 01:32
od Daniel
Geometrijsko mesto je zapravo skup svih tačaka za koje je ispunjen određen uslov.

Jovan111 je napisao:Ali ipak, to bi trebalo da bude prava koja je paralelna pravoj kroz datu tačku.

:?: Ne znam na osnovu čega si ovo zaključio.

Ono što sam te pitao – geometrijsko mesto tačaka koje su od neke date tačke udaljene za podjednako rastojanje [inlmath]d[/inlmath] jeste kružnica poluprečnika [inlmath]d[/inlmath]. Drugačije rečeno, kružnicu čine sve tačke podjednako udaljene od neke date tačke, koja predstavlja centar kružnice.

Potrebno je da kroz tačku [inlmath]A(2,5)[/inlmath] postaviš tangente na kružnicu poluprečnika [inlmath]3[/inlmath] čiji je centar u tački [inlmath]N(5,1)[/inlmath]. Te tangente će biti upravo ono što se traži u zadatku, jer one će biti prave koje prolaze kroz [inlmath]A(2,5)[/inlmath], a od tačke [inlmath]N(5,1)[/inlmath] su udaljene za [inlmath]3[/inlmath].

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

PostPoslato: Petak, 19. Januar 2018, 15:32
od Jovan111
Važi važi... Hvala mnogo, ali sam i sam posle to ukapirao.


Ali ipak ako nekom ikada bude trebao ovaj zadatak (i da se pravim pametan jer sam ga razumeo hahahaha) uradiću ga.



Neka tačka koja pripada traženim pravama je na udaljenosti [inlmath]3[/inlmath] od date tačke [inlmath]N[/inlmath]. Geometrijsko mesto tačaka koje su od date tačke udaljene za rastojanje [inlmath]l[/inlmath] je krug sa centrom u datoj tački i radijusom koji je jednak tom rastojanju.

tangente.png
tangente.png (14.8 KiB) Pogledano 2201 puta

Sa slike se vidi da su prave na rastojanju [inlmath]3[/inlmath] od tačke [inlmath]N[/inlmath] u stvari one kojima pripadaju tangente iz iste tačke na kružnicu, a pošto se sa slike vidi da je [inlmath]E(2,1)[/inlmath] onda je [inlmath]|AE|=|AF|=4[/inlmath], te je dalje
[dispmath]4^2=(2-x)^2+(5-y)^2,[/dispmath] pri čemu je [inlmath]|NF|=3[/inlmath], te je
[dispmath]3^2=(5-x)^2+(1-y)^2[/dispmath] i nakon što se oslobodimo zagrada dobija se:
[dispmath]10x-x^2+2y-y^2=17\\
4x-x^2+10y-y^2=13[/dispmath] Nakon što se oslobodimo na primer [inlmath]y^2[/inlmath] dobija se
[dispmath]x=\frac{2+4y}{3},[/dispmath] koje nakon što se uvrsti u prvu jednačinu daje da je
[dispmath]y_1=1\\
y_2=\frac{97}{25},[/dispmath] za koje slede
[dispmath]x_1=2\\
x_2=\frac{146}{25},[/dispmath] što su koordinate tačaka:
[dispmath]E(2,1)\\
F\left(\frac{146}{25},\frac{97}{25}\right),[/dispmath] te je dalje (što se i sa slike vidi) prva prava sa jednačinom
[dispmath]p\colon x=2,[/dispmath] a druga sa jednačinom koja se dobija primenom obrasca za jednačinu prave kroz dve poznate tačke ([inlmath]A[/inlmath], [inlmath]F[/inlmath]), što je:
[dispmath]q\colon y-5=\frac{5-\frac{97}{25}}{2-\frac{146}{25}}(x-2),[/dispmath] odakle je
[dispmath]24y+7x-134=0[/dispmath]

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

PostPoslato: Petak, 19. Januar 2018, 20:01
od Daniel
Bravo! :thumbup:

Re: Jednačina prave na rastojanju od tačke

PostPoslato: Petak, 19. Januar 2018, 21:02
od bobanex
[dispmath]d_{pN}=\frac{\left|kx_N+n-y_N\right|}{\sqrt{k^2+1}}\\
p\colon y_M=kx_M+n[/dispmath] Ja sam koristio ova dva izraza kako bih došao do drugog netrivijalnog rešenja.