Zajedničke tangente kružnica • MATEMANIJA
Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Zajedničke tangente kružnica

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Zajedničke tangente kružnica

Postod dr.trovacek » Petak, 06. April 2018, 10:51

Pozdrav

imam pitanje u vezi sljedećeg zadatka:

Odredi jednadžbe zajedničkih tangenata dviju kružnica:
[dispmath]x^2+y^2-4x-2y+4=0\\
x^2+y^2+4x+2y-4=0[/dispmath] Prvo sam sredio kružnice i koristio formulu za uvjet dodira krivulje i pravca
[dispmath]k_1....\;(x-2)^2+(y-1)^2=1;\;S_1(2,1)\\
k_2....\;(x+2)^2+(y+1)^2=9;\;S_2(-2,-1)[/dispmath][dispmath]\left(1+k^2\right)=(1-2k-l)^2\\
9\left(1+k^2\right)=(-1+2k-l)^2[/dispmath] Podijelio sam ova dva izraza i dobio:
[dispmath]\pm3(1-2k-l)=2k-1-l[/dispmath] U prvom slučaju (sa [inlmath]3[/inlmath]) dobio sam prva dva rješenja, tangente, odnosno pravce:
[dispmath]y=2\\
4x-3y-10=0[/dispmath] U drugom slučaju (sa [inlmath]-3[/inlmath]) dobio sam: [inlmath]l=-k+\frac{1}{2}[/inlmath] i nakon ovrštavanja u jedno od jednadžbi za uvjet dodira kružnice i pravca dobio sam sljedeće:
[dispmath]\left(1+k^2\right)=\left(1-2k+k-\frac{1}{2}\right)^2\\
k^2=\left(\frac{1}{2}-k\right)^2-1\\
k^2=\left(\frac{1}{2}-k-1\right)\left(\frac{1}{2}-k+1\right)\\
k^2=\left(\frac{1}{2}+k\right)\left(k-\frac{3}{2}\right)\\
k^2=\frac{1}{2}k-\frac{3}{4}+k^2-\frac{3}{2}k\\
k=-\frac{3}{4}[/dispmath] Uvrštavanjem u jednadžbu kružnice dobio sam pravac kao rješenje: [inlmath]3x+4y-5=0[/inlmath]

No nedostaje još jedno rješenje, pravac [inlmath]x=1[/inlmath]. :think1:

Prema rješenjima koja sam pronašao na internetu, ide se malo drugačijim putem kod rješavanja sustava, ali ja i dalje ne znam od kuda se dobije [inlmath]x-1=0[/inlmath]. Oni ga samo izbace bez postupka. :unsure:



[inlmath]S_1(2,1),\;r_1^2=1\\
S_2(-2,-1),\;r_2^2=9[/inlmath]
[dispmath]\left(1+k^2\right)=(1-2k-l)^2\\
9\left(1+k^2\right)=(-1+2k-l)^2\\
\underline{\hspace{15em}}\\
1+k^2=1-4k+4k^2-2l+4kl+l^2\\
9+9k^2=4k^2-4k+1+2l-4kl+l^2\\
\underline{\hspace{15em}}\\
-3k^2-l^2+4k+2l-4kl=0\\
5k^2-l^2+4k-2l+4kl+8=0\\
\underline{\hspace{15em}}\\
-8k^2-8=-4l+8kl\\
-2k^2-2=l(2k-1)\\
l=\frac{-2\left(k^2+1\right)}{2k-1}\\
l=\frac{2\left(k^2+1\right)}{1-2k}\\
-3k^2-\frac{4\left(k^2+1\right)^2}{(1-2k)^2}+4k+4\frac{k^2+1}{1-2k}\cdot(1-2k)=0\\
-3k^2-4\frac{\left(k^2+1\right)^2}{(1-2k)^2}+4k+4k^2+4=0\\
k^2+4k+4=4\frac{\left(k^2+1\right)^2}{(1-2k)^2}\\
(k+2)^2=\left(2\frac{k^2+1}{1-2k}\right)^2\\
k+2=2\frac{k^2+1}{1-2k}\\
k-2k^2+2-4k=2k^2+2\\
-4k^2-3k=0\\
k(4k+3)=0\\
k_1=0,\quad l_1=2\\
4k=-3\\
k_2=-\frac{3}{4}\quad l_2=\frac{5}{4}[/dispmath] [inlmath]y-2=0,\\
3x+4y-5=0[/inlmath]
[dispmath]k+2=-2\frac{k^2+1}{1-2k}\\
k-2k^2+2-4k=-2k^2-2\\
-3k=-4\\
k_3=\frac{4}{3},\quad l_3=-\frac{10}{3}\\[/dispmath] [inlmath]4x-3y-10=0\\
x-1=0[/inlmath]



Ne razumijem kojim postupkom se dođe do zaključka da je [inlmath]x-1=0[/inlmath] također rješenje. :think1:

Može pomoć?
Hvala
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Zajedničke tangente kružnica

Postod Daniel » Petak, 13. April 2018, 01:32

Ovaj postupak koji je prikazan i u tvom i u njihovom rešenju validan je onda kada je [inlmath]k[/inlmath] definisano. Međutim, kod pravaca koji su paralelni s [inlmath]y[/inlmath]-osom (tj. kod „vertikalnih“ pravaca), a to su pravci oblika [inlmath]x=a[/inlmath], koeficijent [inlmath]k[/inlmath] nije definisan, tj. mogao bi biti i [inlmath]+\infty[/inlmath] i [inlmath]-\infty[/inlmath]. Zato za ove slučajeve mora posebno da se ispituje. Pretpostavi se da je jednačina tangente oblika [inlmath]x=a[/inlmath], a onda se traži takvo [inlmath]a[/inlmath] za koje će pravac [inlmath]x=a[/inlmath] imati tačno jednu zajedničku tačku sa svakom od te dve kružnice.
Može i jednostavnije, tako što se obe kružnice nacrtaju u koordinatnom sistemu – sa crteža će se videti da „najdesnija“ tačka druge kružnice ima istu [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu kao i „najlevlja“ tačka prve kružnice, tako da će [inlmath]a[/inlmath], logično, biti jednako njihovoj [inlmath]x[/inlmath]-koordinati...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta

Re: Zajedničke tangente kružnica

Postod dr.trovacek » Petak, 13. April 2018, 17:38

Puno hvala! :D

Ovako sam dobio rješenje:
[dispmath]x=a,\;y=0\\
k_1....\;(a-2)^2+(0-1)^2=1\quad\Longrightarrow\quad(a-2)^2=0\\
k_2....\;(a+2)^2+(0+1)^2=9\quad\Longrightarrow\quad(a+2)^2-8=0\\
(a-2)^2=(a+2)^2-8\\
a^2-4a+4=a^2+4a+4-8\\
-8a=-8\\
a=1[/dispmath] Dakle rješenje je [inlmath]x=1[/inlmath].

Jedino se sad pitam da li je baš skroz točna pretpostavka u postupku. :think1:

Inače se pravci paralelni s koordinantim osima definiraju, ako gledamo implicitni oblik [inlmath]Ax+By+C=0[/inlmath], tako da su koeficijenti [inlmath]A[/inlmath] ili [inlmath]B[/inlmath] jednaki nuli. Pa bi možda trebalo postaviti slučaj tako da se zada [inlmath]B=0[/inlmath]?

Na taj način bi se ispitivalo rješenje za slučaj kada je koeficijent smjera nedefiniran, jer je onda nula u nazivniku. Iz implicitnog oblika jednadžbe pravca [inlmath]y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}[/inlmath] slijedi da je koeficijent smjera: [inlmath]k=-\frac{A}{B}[/inlmath].

S druge strane, jednadžbe kružnice su zadane tako da se baš treba uvrstiti [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath]. Tako da je valjda ok zadati ovako...
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Zajedničke tangente kružnica

Postod Daniel » Petak, 13. April 2018, 22:49

dr.trovacek je napisao:[dispmath]x=a,\;y=0\\
k_1....\;(a-2)^2+(0-1)^2=1\quad\Longrightarrow\quad(a-2)^2=0\\
k_2....\;(a+2)^2+(0+1)^2=9\quad\Longrightarrow\quad(a+2)^2-8=0\\
(a-2)^2=(a+2)^2-8\\
a^2-4a+4=a^2+4a+4-8\\
-8a=-8\\
a=1[/dispmath]

Iskreno, nije mi ni najmanje jasan ovaj postupak. Ti si, znači, odabrao neku tačku [inlmath](a,0)[/inlmath] koja se nalazi na [inlmath]x[/inlmath]-osi (jer joj je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata nula) i njene koordinate uvrštavao u jednačine kružnica? Na taj način možeš za svaku od kružnica dobiti [inlmath]x[/inlmath]-koordinate njenih preseka s [inlmath]x[/inlmath]-osom, ali to ti ovde uopšte ne treba.

A i nije li ti čudno to da, ako [inlmath]a=1[/inlmath] uvrstiš u prethodne jednačine [inlmath](a-2)^2=0[/inlmath] i [inlmath](a+2)^2-8=0[/inlmath], očigledno dobijaš da jednakost nije ispunjena?

Ja ti ipak savetujem da ovo uradiš na neki od onih načina koje sam ti preporučio (nekom koincidencijom, zaista treba da se dobije [inlmath]a=1[/inlmath], ali u tvom postupku zaista ne pronalazim neku vezu).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta

Re: Zajedničke tangente kružnica

Postod dr.trovacek » Sreda, 18. April 2018, 21:11

Da, kužim sad, učinio sam glupost jer sam brzao :facepalm: a rješenje je slučajno ispalo jednako točnom.

Rješenje pomoću skice mi je jasno, hvala! :thumbup:

Ovo je inače zadatak za 3. razred srednje koji sam našao u starijem izdanju knjige, a u novoj knjizi ga nemamo. Možda su ga izbacili jer postupak nadilazi znanje koje bi učenici trebali imati u trenutku kada se obrađuje to gradivo ili je svrha baš da se do rješenja dođe promatranjem skice. :think1:

Kako god bilo računski ne znam riješiti. :unsure: Pokušao sam ovo preispitati kako si rekao, no ne pada mi na pamet ništa osim nekako preko formule uvjeta dodira pravca i krivulje [inlmath]r^2\left(1+k^2\right)=(q-kp-l)^2[/inlmath].
Za to mi je potreban pravac u obliku [inlmath]y=kx+l[/inlmath], ali ne znam kako da uvrstim koeficijent smjera [inlmath]k[/inlmath] ako on nije definiran, odnosno kako baratati pravcem oblika [inlmath]x=a[/inlmath] da bi se izvršila provjera za taj oblik. :kojik:
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Zajedničke tangente kružnica

Postod Daniel » Četvrtak, 19. April 2018, 00:56

Na formulu [inlmath]r^2\left(1+k^2\right)=(q-kp-l)^2[/inlmath] možeš u ovom slučaju slobodno zaboraviti, :) jer, kako si i sâm primetio, [inlmath]k[/inlmath] tada nije definisano – znači, ne može se koristiti ni formula koja sadrži [inlmath]k[/inlmath].
Kreneš, dakle, od „vertikalnog“ pravca [inlmath]x=a[/inlmath]. Potrebno je da taj pravac ima tačno po jednu zajedničku tačku sa svakom od kružnica. To znači, uvrstimo [inlmath]x=a[/inlmath] u jednačinu svake od kružnica i postavimo uslov da jednačina ima tačno jedno rešenje. Npr. uslov dodira prve kružnice i „vertikalnog“ pravca biće da jednačina [inlmath](a-2)^2+(y-1)^2=1[/inlmath] ima tačno jedno rešenje po [inlmath]y[/inlmath], a to će se desiti kada je njena diskriminanta jednaka nuli (kad je diskriminanta veća od nule jednačina će imati dva rešenja, tj. pravac će seći kružnicu, a kad je diskriminanta manja od nule pravac i kružnica neće imati zajedničke tačke). E sad, ti možeš razvijati ovu jednačinu pa dobiti [inlmath]y^2-2y+a^2-4a+4=0[/inlmath] i izjednačiti njenu diskriminantu s nulom i odatle odrediti moguće vrednosti [inlmath]a[/inlmath], a možeš i bez razvijanja primetiti da će [inlmath](a-2)^2+(y-1)^2=1[/inlmath] imati tačno jedno rešenje po [inlmath]y[/inlmath] onda kada je [inlmath](y-1)^2=0[/inlmath], tj. kada je [inlmath]1-(a-2)^2=0[/inlmath]. Kako god da radiš, dobićeš dve vrednosti po [inlmath]a[/inlmath] (zato što postoje dve moguće vertikalne tangente na svaku kružnicu – s leve i s desne strane.
Zatim ponoviš postupak i za drugu kružnicu, i ona vrednost [inlmath]a[/inlmath] koja se ponavlja i u prvom i u drugom slučaju odgovaraće zajedničkoj vertikalnoj tangenti te dve kružnice.

Ipak, ovo je sve po meni nepotrebno komplikovanje, mnogo je lakše onim grafičkim načinom koji sam ti pominjao, tj. uočavanjem vertikalne tangente na samom crtežu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta

Re: Zajedničke tangente kružnica

Postod dr.trovacek » Četvrtak, 19. April 2018, 22:34

Ok, pratio sam instrukcije i uspio. Dobio sam uz pomoć kvadratne jednadžbe i diskriminante da je zajedničko rješenje [inlmath]a=1[/inlmath]. :thumbup:

Mislim da mi je sad sve jasno. Zapravo svako rješenje od [inlmath]a[/inlmath] predstavlja vertikalan pravac koji dira kružnicu. Pravac [inlmath]x=a[/inlmath] mora imati točno jednu točku zajedničku sa svakom od kružnica jer onda to znači da dira obje kružnice, svaku u jednoj točki, odnosno da je tangenta obiju kružnica.

Puno hvala! ;)
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 16. Avgust 2018, 17:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs