Pozdrav
imam pitanje u vezi sljedećeg zadatka:
Odredi jednadžbe zajedničkih tangenata dviju kružnica:
[dispmath]x^2+y^2-4x-2y+4=0\\
x^2+y^2+4x+2y-4=0[/dispmath] Prvo sam sredio kružnice i koristio formulu za uvjet dodira krivulje i pravca
[dispmath]k_1....\;(x-2)^2+(y-1)^2=1;\;S_1(2,1)\\
k_2....\;(x+2)^2+(y+1)^2=9;\;S_2(-2,-1)[/dispmath][dispmath]\left(1+k^2\right)=(1-2k-l)^2\\
9\left(1+k^2\right)=(-1+2k-l)^2[/dispmath] Podijelio sam ova dva izraza i dobio:
[dispmath]\pm3(1-2k-l)=2k-1-l[/dispmath] U prvom slučaju (sa [inlmath]3[/inlmath]) dobio sam prva dva rješenja, tangente, odnosno pravce:
[dispmath]y=2\\
4x-3y-10=0[/dispmath] U drugom slučaju (sa [inlmath]-3[/inlmath]) dobio sam: [inlmath]l=-k+\frac{1}{2}[/inlmath] i nakon ovrštavanja u jedno od jednadžbi za uvjet dodira kružnice i pravca dobio sam sljedeće:
[dispmath]\left(1+k^2\right)=\left(1-2k+k-\frac{1}{2}\right)^2\\
k^2=\left(\frac{1}{2}-k\right)^2-1\\
k^2=\left(\frac{1}{2}-k-1\right)\left(\frac{1}{2}-k+1\right)\\
k^2=\left(\frac{1}{2}+k\right)\left(k-\frac{3}{2}\right)\\
k^2=\frac{1}{2}k-\frac{3}{4}+k^2-\frac{3}{2}k\\
k=-\frac{3}{4}[/dispmath] Uvrštavanjem u jednadžbu kružnice dobio sam pravac kao rješenje: [inlmath]3x+4y-5=0[/inlmath]
No nedostaje još jedno rješenje, pravac [inlmath]x=1[/inlmath].
Prema rješenjima koja sam pronašao na internetu, ide se malo drugačijim putem kod rješavanja sustava, ali ja i dalje ne znam od kuda se dobije [inlmath]x-1=0[/inlmath]. Oni ga samo izbace bez postupka.
[inlmath]S_1(2,1),\;r_1^2=1\\
S_2(-2,-1),\;r_2^2=9[/inlmath]
[dispmath]\left(1+k^2\right)=(1-2k-l)^2\\
9\left(1+k^2\right)=(-1+2k-l)^2\\
\underline{\hspace{15em}}\\
1+k^2=1-4k+4k^2-2l+4kl+l^2\\
9+9k^2=4k^2-4k+1+2l-4kl+l^2\\
\underline{\hspace{15em}}\\
-3k^2-l^2+4k+2l-4kl=0\\
5k^2-l^2+4k-2l+4kl+8=0\\
\underline{\hspace{15em}}\\
-8k^2-8=-4l+8kl\\
-2k^2-2=l(2k-1)\\
l=\frac{-2\left(k^2+1\right)}{2k-1}\\
l=\frac{2\left(k^2+1\right)}{1-2k}\\
-3k^2-\frac{4\left(k^2+1\right)^2}{(1-2k)^2}+4k+4\frac{k^2+1}{1-2k}\cdot(1-2k)=0\\
-3k^2-4\frac{\left(k^2+1\right)^2}{(1-2k)^2}+4k+4k^2+4=0\\
k^2+4k+4=4\frac{\left(k^2+1\right)^2}{(1-2k)^2}\\
(k+2)^2=\left(2\frac{k^2+1}{1-2k}\right)^2\\
k+2=2\frac{k^2+1}{1-2k}\\
k-2k^2+2-4k=2k^2+2\\
-4k^2-3k=0\\
k(4k+3)=0\\
k_1=0,\quad l_1=2\\
4k=-3\\
k_2=-\frac{3}{4}\quad l_2=\frac{5}{4}[/dispmath] [inlmath]y-2=0,\\
3x+4y-5=0[/inlmath]
[dispmath]k+2=-2\frac{k^2+1}{1-2k}\\
k-2k^2+2-4k=-2k^2-2\\
-3k=-4\\
k_3=\frac{4}{3},\quad l_3=-\frac{10}{3}\\[/dispmath] [inlmath]4x-3y-10=0\\
x-1=0[/inlmath]
Ne razumijem kojim postupkom se dođe do zaključka da je [inlmath]x-1=0[/inlmath] također rješenje.
Može pomoć?
Hvala