Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Jednačina kruga upisanog u trougao – probni prijemni ETF 2017.

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

  • +1

Jednačina kruga upisanog u trougao – probni prijemni ETF 2017.

Postod kazinski » Utorak, 12. Jun 2018, 16:48

Probni prijemni ispit ETF - 10. jun 2017.
7. zadatak


Jednačina kruga upisanog u trougao čije stranice pripadaju pravama [inlmath]x=0[/inlmath], [inlmath]y=0[/inlmath] i [inlmath]3x+4y−12=0[/inlmath] je:
[inlmath]\enclose{box}{A}\quad x^2+y^2−2x−2y+1=0[/inlmath]

Screenshot_3.png
Screenshot_3.png (6.38 KiB) Pogledano 116 puta

Ako znamo koliki su segmenti koje zaklapa prava sa koordinatnim osama možemo naći i treću stranicu tj. hipotenuzu. Dakle, poznati su nam segmenti po [inlmath]x(4,0)[/inlmath] i [inlmath]y(0,3)[/inlmath] osi, što znači da će treća stranica biti: [inlmath]c=4^2+3^2=25\;\Longrightarrow\;c=5[/inlmath].

Sada možemo naći poluobim trokuta:
[dispmath]s=\frac{a+b+c}{2}\;\Longrightarrow\;s=6[/dispmath] Izračunamo površinu trokuta preko Heronove formule:
[dispmath]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\;\Longrightarrow\;P=6[/dispmath] Poluprečnik možemo naći preko formule: [inlmath]P=r\cdot s\;\Longrightarrow\;r=\frac{P}{s}\;\Longrightarrow\;r=1[/inlmath]

Važno je uočiti da je [inlmath]p=q=r[/inlmath], što nam daje indicije da već 'napamet' znamo jednačinu kružnice:
[dispmath](x-1)^2+(y-1)^2=1[/dispmath] Odnosno:
[dispmath]x^2+y^2−2x−2y+1=0[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 17 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Jednačina kruga upisanog u trougao – probni prijemni ETF 2017.

Postod Daniel » Sreda, 13. Jun 2018, 19:22

kazinski je napisao:Izračunamo površinu trokuta preko Heronove formule:
[dispmath]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\;\Longrightarrow\;P=6[/dispmath]

Ovo je, što bi se reklo, „gađanje komarca topom“. :) Nema potrebe za Heronom kad imamo pravougli trougao čije su nam katete poznate. Površina je jednaka polovini proizvoda kateta.

Pokazao bih još dva načina, a oba polaze od (već pokazane) činjenice da je jednačina kružnice oblika [inlmath](x-r)^2+(y-r)^2=r^2[/inlmath], gde je [inlmath]r[/inlmath] istovremeno i poluprečnik iste, a i vrednost obe koordinate njenog centra.



Preko simetrala uglova trougla:
Centar kružnice mora se nalaziti u preseku simetrala. Jednu simetralu već znamo (to je [inlmath]y=x[/inlmath]), dovoljno je odrediti još jednu. Neka to bude simetrala hipotenuze i katete koja leži na [inlmath]x[/inlmath]-osi. Označimo koeficijent pravca te simetrale sa [inlmath]k[/inlmath]. Pošto ta simetrala zaklapa jednake uglove s hipotenuzom (čiji je koeficijent pravca [inlmath]-\frac{3}{4}[/inlmath]) i s [inlmath]x[/inlmath]-osom (čiji je koeficijent pravca [inlmath]0[/inlmath]), pišemo:
[dispmath]\frac{-\frac{3}{4}-k}{1+\left(-\frac{3}{4}\right)k}=\frac{k-0}{1+0\cdot k}\quad\Longrightarrow\quad\cdots\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{3}\;\lor\;k=3[/dispmath] [inlmath]k=3[/inlmath] predstavlja simetralu spoljašnjeg ugla, tako da nam nije od interesa. Slobodan član tražene simetrale nalazimo iz uslova da sadrži teme trougla [inlmath](4,0)[/inlmath] i dobije se da je [inlmath]n=\frac{4}{3}[/inlmath]. Centar kružnice (a samim tim i njen poluprečnik) tada je određen presekom ove dve simetrale, [inlmath]y=x[/inlmath] i [inlmath]y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}[/inlmath].



Preko uslova dodira:
Postavljamo uslov da kružnica čija je jednačina oblika [inlmath](x-r)^2+(y-r)^2=r^2[/inlmath] dodiruje hipotenuzu čija je jednačina [inlmath]y=-\frac{3}{4}x+3[/inlmath], a po formuli za uslov dodira [inlmath]r^2\left(k^2+1\right)=(-kp+q-n)^2[/inlmath]. Uvrstimo u tu formulu [inlmath]k=-\frac{3}{4}[/inlmath], [inlmath]n=3[/inlmath] i [inlmath]p=q=r[/inlmath], nakon malo sređivanja dobijemo kvadratnu jednačinu [inlmath]r^2-7r+6=0[/inlmath], odbacujemo rešenje [inlmath]p=q=r=6[/inlmath] (koje bi predstavljalo kružnicu koja dodiruje koordinatne ose i koja hipotenuzu dodiruje sa spoljašnje strane, i ostaje nam rešenje [inlmath]p=q=r=1[/inlmath], koje predstavlja traženu kružnicu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 17. Oktobar 2018, 14:16 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs