Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Tačka na simetrali duži

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Tačka na simetrali duži

Postod coa1999 » Petak, 29. Jun 2018, 13:20

Prije svega da se unaprijed izvinim ako je ovakav ili sličan zadatak objavljen ranije, ali zaista ne mogu da pronađem. :D

Koordinate tačke duži su [inlmath](-4,1)[/inlmath] [inlmath](0,-1)[/inlmath] Pronaći tačku na simetrali duži iz koje se data duž vidi pod pravim uglom.

1. Ako pronađem tačku koja se nalazi tačno između tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i označim je sa [inlmath]M[/inlmath], pa potom nađem jednačinu prave kroz tu tačku koja je normalna na jednačinu prave kroz tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] dobiću jednačinu simetrale duži koja prolazi kroz tačku [inlmath]C(x,y)[/inlmath] koju treba da pronađem. Ako napravimo skicu primjetimo da je tačka [inlmath]C[/inlmath] koja se nalazi na jednačini simetrale jednako udaljena od tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. iz date jednakosti trebao bih da dobijem novu jednačinu, potom riješim sistem i dobijem koordinate tačke [inlmath]C[/inlmath], međutim iz nekog razloga ne dobijem tačne koordinate.
2. Ideja. Da u tački [inlmath]A[/inlmath] napišem jednačinu kružnice poluprečnika [inlmath]AB[/inlmath], potom jednačinu kruga u tački [inlmath]B[/inlmath] takođe poluprečnika [inlmath]AB[/inlmath], rješavanjem sistema ove dvije jednačine kruga dobio bih tačke presjeka koje bi bile tačno na simetrali date duži, međutim dobije se sistem koji se ne može riješiti.
3. Ideja: Ako posmatram pravougli trougao [inlmath]ACM[/inlmath] (gdje je [inlmath]M[/inlmath] središte duži [inlmath]AB[/inlmath]) i iskoristim pitagorinu teoremu dobio bih da je [dispmath](AC)^2=(AM)^2+(MC)^2[/dispmath] Iz te jednakosti ponovo dobijem istu jednačinu kao u 1. slučaju i ponovo iz nekog razloga ne mogu da odredim koordinate tačke [inlmath]C[/inlmath].
Moguće je da sam negdje pogriješio u računu, ali svakako molim za pomoć oko ovog zadatka jer sam jako isfrustriran i gorim od želje da saznam kako se radi, hvala unaprijed :D
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 29. Jun 2018, 14:29, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latex-tagova
coa1999  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Tačka na simetrali duži

Postod m_p_prijedor » Petak, 29. Jun 2018, 14:35

Ja bih to uradio na sličan način koji si predložio. Naime, prvo bih našao jednačinu duži na kojoj se nalaze [inlmath]A(-4,1)[/inlmath] i [inlmath]B(0,-1)[/inlmath]. Ona će biti [inlmath]y=\frac{-x}{2}-1[/inlmath].
Potom bih našao tačku koja leži podjednako između ove dvije tačke, koja će istovremeno pripadati i simetrali prave [inlmath]AB[/inlmath]. Nazvaću je [inlmath]C[/inlmath] i biće [inlmath]C(-2,0)[/inlmath]. Sad možemo naći i jednačinu prave simetrale, koja je [inlmath]y=2x+4[/inlmath]
E, sad, na simetrali prave se mogu nalaziti dvije tačke koje gledaju na ovu pod pravim uglom, jedna "iznad" druga "ispod" prave. Ovo je, mislim, najlakše riješiti pomoću Pitagorine teoreme. Pretpostavimo da je u pitanju neka tačka [inlmath]M(x,y)[/inlmath].
Rastojanje između [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] je isto kao i rastojanje između [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath].

Slika

Dužina između [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] se lako izračuna, ona je [inlmath]\sqrt5[/inlmath]. Iz toga je rastojanje između [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath] jednako [inlmath]\sqrt{10}[/inlmath]. Ovdje je dovoljno postaviti jedan sistem jednačina i vidjećemo da su riješenja dva uređena para tačaka, [inlmath]M(-3,-2)[/inlmath] i [inlmath]N(-1,2)[/inlmath].

U pitanju su jednačine
[dispmath]\sqrt{(0-x)^2+(-1-y)^2}=\sqrt{10}[/dispmath][dispmath]\sqrt{(-2-x)^2+(0-y)^2}=\sqrt5[/dispmath]
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Tačka na simetrali duži

Postod coa1999 » Petak, 29. Jun 2018, 15:47

Hvala, mnogo mi je pomoglo!
coa1999  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Tačka na simetrali duži

Postod Daniel » Petak, 29. Jun 2018, 15:52

Ja bih, @coa1999, proanalizirao malo i tvoje načine, u kojima ima dobrih ideja.

coa1999 je napisao:1. Ako pronađem tačku koja se nalazi tačno između tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i označim je sa [inlmath]M[/inlmath], pa potom nađem jednačinu prave kroz tu tačku koja je normalna na jednačinu prave kroz tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] dobiću jednačinu simetrale duži koja prolazi kroz tačku [inlmath]C(x,y)[/inlmath] koju treba da pronađem. Ako napravimo skicu primjetimo da je tačka [inlmath]C[/inlmath] koja se nalazi na jednačini simetrale jednako udaljena od tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. iz date jednakosti trebao bih da dobijem novu jednačinu, potom riješim sistem i dobijem koordinate tačke [inlmath]C[/inlmath], međutim iz nekog razloga ne dobijem tačne koordinate.

Nadam se da neću previše cepidlačiti ako kažem da se tačka ne može nalaziti na jednačini simetrale, nego baš na simetrali. :) Takođe, nije nam potrebna skica da bismo zaključili da se tačka koja pripada simetrali duži [inlmath]AB[/inlmath] nalazi na podjednakoj udaljenosti od tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], jer to i jeste definicija simetrale duži (geometrijsko mesto tačaka podjednako udaljenih od krajeva te duži).
Iz ovoga što si napisao nemaš dovoljno podataka da bi odredio traženu tačku (tj. tražene tačke, budući da postoje dva rešenja), već moraš postaviti i uslov da je [inlmath]CM=AM(=BM)[/inlmath].

coa1999 je napisao:2. Ideja. Da u tački [inlmath]A[/inlmath] napišem jednačinu kružnice poluprečnika [inlmath]AB[/inlmath], potom jednačinu kruga u tački [inlmath]B[/inlmath] takođe poluprečnika [inlmath]AB[/inlmath], rješavanjem sistema ove dvije jednačine kruga dobio bih tačke presjeka koje bi bile tačno na simetrali date duži, međutim dobije se sistem koji se ne može riješiti.

Pomalo komplikovan način da bi se odredila simetrala date duži (presečne tačke koje na taj način dobiješ neće biti tražene tačke, već samo neke dve tačke koje određuju simetralu). Ali, nije da se sistem ne može rešiti:
[dispmath](x+4)^2+(y-1)^2=20\\
x^2+(y+1)^2=20[/dispmath] Oduzimanjem druge jednačine od prve dobije se [inlmath]8x+16-4y=0[/inlmath], a odatle [inlmath]y=2x+4[/inlmath], što upravo jeste jednačina simetrale duži [inlmath]AB[/inlmath], koju je i m_p_prijedor dobio.

coa1999 je napisao:3. Ideja: Ako posmatram pravougli trougao [inlmath]ACM[/inlmath] (gdje je [inlmath]M[/inlmath] središte duži [inlmath]AB[/inlmath]) i iskoristim pitagorinu teoremu dobio bih da je [dispmath](AC)^2=(AM)^2+(MC)^2[/dispmath] Iz te jednakosti ponovo dobijem istu jednačinu kao u 1. slučaju i ponovo iz nekog razloga ne mogu da odredim koordinate tačke [inlmath]C[/inlmath].

E, sada bi mogao da primeniš ono iz ideje 2, nakon što si ovde uočio da je trougao [inlmath]\triangle AMC[/inlmath] jednakokraki pravougli, iz čega sledi da je [inlmath]AC=AM\sqrt2[/inlmath], pa konstruišeš dve kružnice, jednu s centrom u [inlmath]A[/inlmath], drugu s centrom u [inlmath]B[/inlmath], obe poluprečnika [inlmath]AC=AM\sqrt2=AB\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]. U njihovim presecima nalaziće se tražene tačke.



A evo i moje ideje. Nađe se jednačina kružnice čiji je prečnik duž [inlmath]AB[/inlmath] (dakle, kružnica s centrom u tački [inlmath]M[/inlmath] koja je središte duži [inlmath]AB[/inlmath], a poluprečnika [inlmath]AM(=BM)[/inlmath]. Nađe se jednačina simetrale duži [inlmath]AB[/inlmath], koristeći vezu koeficijenata pravaca duži i njene simetrale, [inlmath]k_1k_2=-1[/inlmath]. Budući da se tražene tačke dobijaju u preseku kružnice i simetrale, to će rešenja sistema jednačina kružnice i simetrale predstavljati koordinate traženih tačaka:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
(x+2)^2+y^2=5\\
y=2x+4\\
\end{array}\right\}\\
\Longrightarrow\quad(x+2)^2+(2x+4)^2=5\\
\vdots\\
(x_1,y_1)=(-3,-2),\quad(x_2,y_2)=(-1,2)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Tačka na simetrali duži

Postod coa1999 » Nedelja, 01. Jul 2018, 00:31

Hvala na pomoći :D btw pozitivna stvar kod analitičke je što se zadaci mogu riješiti na više načina :D
coa1999  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 17. Oktobar 2018, 13:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs