Ovako glasi zadatak:
Ako kriva drugog reda ima žiže [inlmath]F_1(3,3)[/inlmath], [inlmath]F_2(1,1)[/inlmath] i direktrisu [inlmath]l\colon x+y=13[/inlmath], naći njenu drugu direktrisu.
Ja sam ovako rešavala:
Najpre sam odredila kojoj žiži odgovara data direktrisa, odnosno kojoj žiži je bliža.
[dispmath]d(F_1,l)=\frac{|3+3-13|}{\sqrt2}=\frac{7}{\sqrt2}\\
d(F_2,l)=\frac{|1+1-13|}{\sqrt2}=\frac{11}{\sqrt2}[/dispmath] Znači, ova direktrisa odgovara prvoj žiži.
Na osnovu jednakosti koja važi za krive drugog reda [inlmath]\frac{d(M,F_1)}{d(M,l)}=e[/inlmath] (gde je [inlmath]M[/inlmath] bilo koja tačka sa te krive, a [inlmath]e[/inlmath] ekscentricitet) dobijam:
[dispmath]\sqrt{(x-3)^2+(y-3)^2}=\frac{e}{\sqrt2}|x+y-13|\\
(x-3)^2+(y-3)^2=\frac{e^2}{2}(x+y-13)^2\quad*[/dispmath] Računajući parcijalne izvode date jednačine po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] dobijam:
[dispmath]f'_x(x,y)=2(x-3)-e^2(x+y-13)\\
f'_y(x,y)=2(y-3)-e^2(x+y-13)[/dispmath] Kako ova kriva ima dve žiže centar se sigurno nalazi na polovini njihovog rastojanja. Dakle, centar je [inlmath]C\left(\frac{3+1}{2},\frac{3+1}{2}\right)[/inlmath], odnosno [inlmath]C(2,2)[/inlmath]. Kako centar mora da ispunjava gornje jednačine parcijalnih izvoda, zamenom u jednu od njih dobijam ekscentricitet [inlmath]e[/inlmath].
[dispmath]2(2-3)-e^2(2+2-13)=-2+11e^2\\
-2+11e^2=0\\
e^2=\frac{2}{11}[/dispmath] Ekscentricitet mora biti pozitivan pa je [inlmath]e=\sqrt{\frac{2}{11}}[/inlmath]. Onda vrativši u [inlmath]*[/inlmath] dobijam jednačinu naše krive.
[dispmath]11(x-3)^2+11(y-3)^2-(x+y-13)^2=0.[/dispmath] Sada nadalje ne znam da li je ovo ispravan postupak, ali kako je ekscentricitet veci od [inlmath]1[/inlmath], zakljucujem da je u pitanju hiperbola. Pokušala sam najpre da svedem ovu krivu na kanonski oblik algebarskim putem.
Najpre je zapišem u pogodnijem obliku:
[dispmath]10x^2-2xy+10y^2-40x-40y+29=0[/dispmath] Onda imam matricu:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
10 & -1\\
-1 & 10
\end{bmatrix}[/dispmath] Računam nule karakterističnog polinoma kako bih dobila sopstvene vrednosti.
[dispmath]\phi_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}
10-\lambda & -1\\
-1 & 10-\lambda
\end{vmatrix}=99-\lambda^2=\left(3\sqrt{11}-\lambda\right)\left(3\sqrt{11}+\lambda\right)[/dispmath] Dakle, [inlmath]\lambda_1=3\sqrt{11}[/inlmath], [inlmath]\lambda_2=-3\sqrt {11}[/inlmath].
Računajući odgovarajuće sopstvene vektore dobijam:
[dispmath]AX=\lambda_1X\\
(A-\lambda_1E)X=0\\
\begin{bmatrix}
10-3\sqrt{11} & -1\\
-1 & 10-3\sqrt{11}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2
\end{bmatrix}=0\\
\left(10-3\sqrt{11}\right)x_1-x_2=0\\
-x_1+\left(10-3\sqrt{11}\right)x_2=0[/dispmath] Sređivanjem dobijam [inlmath]x_1=0[/inlmath] i [inlmath]x_2=0[/inlmath], ali znamo da sopstveni vektori moraju biti nenula, a i ovo što bismo dobili ne bi bili sopstveni vektori, sopstvene vektore bismo dobili ortonormiranjem dobijenih vektora.
Očito da ovaj moj način rešavanja nije ispravan, a možda sam i napravila neku grešku u računu, pa se nadam da mi neko može pomoći.