Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 00:01
od Joker
Neka je [inlmath]C(8,7)[/inlmath] i neka prava [inlmath]3x+2y-18=0[/inlmath] siječe koordinatne ose [inlmath]Ox[/inlmath] i [inlmath]Oy[/inlmath] redom u tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Ako je duž [inlmath]AB[/inlmath] podjeljena tačkama [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] na tri jednaka dijela tada je mjera ugla izmedju pravih [inlmath]CM[/inlmath] i [inlmath]CN[/inlmath]?
Nasao sam koordinate tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] tako što sam uvrstio
[dispmath]y=0\\
x=0[/dispmath] u jednačinu prave pa sam dobio da je
[dispmath]A(6,0)\\
B(0,9)[/dispmath] Za dalje nisam siguran kako raditi pa molim za pomoc.

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 13:23
od miletrans
Ja bih zadatak radio ovako:

Odredio bih tačke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] (pošto imam koordinate tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i zadat je uslov [inlmath]AM=MN=NB[/inlmath]). Sada bih odredio pravu koja sadrži duž [inlmath]CM[/inlmath], obeležimo je sa [inlmath]p[/inlmath] (ovo ne bi trebalo da bude teško, imamo dve tačke koje pripadaju ovoj pravoj). Onda bih na isti način odredio pravu [inlmath]q[/inlmath] koja sadrži duž [inlmath]CN[/inlmath]. Onda bih iz koeficijenata pravaca [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] odredio ugao između njih.

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 13:51
od Joker
Nije mi jasno kako da nadjem koordinate tacaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] samo pomocu uslova [inlmath]AM=BN=MN[/inlmath].

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 14:47
od miletrans
Ako su nam [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]y_A[/inlmath] koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath] i ako na analogan način obeležimo koordinate tačaka [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]N[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tada za njihova rastojanja mora da važi:
[dispmath]x_Ax_M=x_Mx_N=x_Nx_B\\
y_Ay_M=y_My_N=y_Ny_B[/dispmath] Ove jednakosti su intuitivno jasne, a lako se formalno dokazuju pomoću sličnosti trouglova. Sada ne bi trebalo da bude problema sa određivanjem koordinata tačaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath].

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 15:16
od Joker
U tom slucaju su koordinate [inlmath]M(6,0)[/inlmath] i [inlmath]N(0,9)[/inlmath] ako sam dobro shvatio? I onda kada nadjem koeficijente uvrstavam u formulu gdje mi je ugao
[dispmath]\text{arctg }\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}[/dispmath]

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 15:56
od Jovan111
Pozdrav! Ja bih dao jedan malo tipičniji, školski način rešavanja. Ako je [inlmath]AB[/inlmath] duž čije su krajnje tačke određene koordinatama [inlmath]A(x_A,y_A)[/inlmath] i [inlmath]B(x_B,y_B)[/inlmath], i podeljena je tačkom [inlmath]E[/inlmath] na odsečke [inlmath]AE[/inlmath] i [inlmath]EB[/inlmath], čije se dužine, respektivno, odnose kao [inlmath]m:n[/inlmath], onda su koordinate tačke [inlmath]E[/inlmath] date na sledeći način:
[dispmath]E\left(\frac{x_A\cdot n+x_B\cdot m}{m+n},\frac{y_A\cdot n+y_B\cdot m}{m+n}\right)[/dispmath]


U tvom zadatku je duž [inlmath]AB[/inlmath] podeljena u odnosu [inlmath]1:2[/inlmath] tačkom [inlmath]M[/inlmath], te se primenom prethodne formule, ako su (kako si i sam zaključio) [inlmath]x_A=6[/inlmath] i [inlmath]y_A=0[/inlmath], odnosno [inlmath]x_B=0[/inlmath] i [inlmath]y_B=9[/inlmath], kao i [inlmath]m=1[/inlmath] i [inlmath]n=2[/inlmath], dobija:
[dispmath]M\left(\frac{6\cdot2+0\cdot1}{1+2},\frac{0\cdot2+9\cdot1}{1+2}\right)\iff M\left(4,3\right)[/dispmath] Slično tačka [inlmath]N[/inlmath] (bliža tački [inlmath]B[/inlmath]) deli duž [inlmath]AB[/inlmath] u razmeri [inlmath]2:1[/inlmath], te se (a to probaj sam) dobija [inlmath]N(2,6)[/inlmath]. Dalje, da bi našao ugao između pravih [inlmath]CM[/inlmath] i [inlmath]CN[/inlmath] koristiš koordinate tih tačaka da bi našao prvo koeficijente pravca pomenutih pravih:
[dispmath]k_{CM}=\frac{7-3}{8-4}=1\;\land\;k_{CN}=\frac{7-6}{8-2}=\frac{1}{6}[/dispmath]
Nakon toga primenjuješ formulu za nalaženje tangensa oštrog ugla [inlmath]\varphi[/inlmath] između dve prave čiji su ti koeficijenti pravca poznati:
[dispmath]\text{tg }\varphi=\left|\frac{k_{CM}-k_{CN}}{1+k_{CM}k_{CN}}\right|=\left|\frac{1-\frac{1}{6}}{1+1\cdot\frac{1}{6}}\right|=\frac{5}{7}[/dispmath] te je konačno rešenje [inlmath]φ=\text{arctg }\frac{5}{7}[/inlmath].



miletrans je napisao:Ako su nam [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]y_A[/inlmath] koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath] i ako na analogan način obeležimo koordinate tačaka [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]N[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tada za njihova rastojanja mora da važi:
[dispmath]x_Ax_M=x_Mx_N=x_Nx_B\\
y_Ay_M=y_My_N=y_Ny_B[/dispmath]

P.S. Ni meni nije baš najjasnije kako se odavde mogu naći koordinate tačaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]. Verovatno nešto previđam :D

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 16:10
od Joker
Mnogo ti hvala brate :)

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 16:22
od Jovan111
Nema na čemu :) Samo, ne moraš da citiraš ceo post ako je bio odmah pre tvog - čisto da znaš ;)

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 16:23
od Joker
Hahaha vazi. Novi sam pa se tek pokusavam nekako snaci :D

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 16:45
od miletrans
Evo da odgovorim Jovanu111:

Rastojanje po [inlmath]x[/inlmath] osi između tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] je [inlmath]6[/inlmath]. Pošto je duž [inlmath]AB[/inlmath] podeljena na tri jednaka dela tačkama [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath], onda će i projekcija te duži na [inlmath]x[/inlmath] osu biti podeljena na tri jednaka dela projekcijama tačaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] na istu osu. Projekcija tačke [inlmath]M[/inlmath] na [inlmath]x[/inlmath] osu je zapravo [inlmath]x[/inlmath] koordinata tačke [inlmath]M[/inlmath]. Onda isti pristup primenimo i za [inlmath]y[/inlmath] osu i dobijemo upravo ovi što si i ti dobio za koordinate tačaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]. Možda sam malo zakomplikovao objašnjenje, ali se u suštini svodi na ovo što si ti napisao.

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 17:06
od Jovan111
Hvala na odgovoru. Mislim da sam to shvatio, ali kada primenim da je [inlmath]x_A=6[/inlmath] i [inlmath]y_A=0[/inlmath], odnosno [inlmath]x_B=0[/inlmath] i [inlmath]y_B=9[/inlmath] u ono što si zapisao,
miletrans je napisao:[dispmath]x_Ax_M=x_Mx_N=x_Nx_B[/dispmath]

dobija se:
[dispmath]6\cdot x_M=x_Mx_N=x_N\cdot0[/dispmath] odakle (pretpostavljam) smem reći:
[dispmath]x_Mx_N=x_N\cdot0\tag1[/dispmath] i ako se zaista dobije "ovo što sam ja dobio za koordinate tačaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]", to jest, ako se dobije [inlmath]x_N=2\ne0[/inlmath] kao što sam ja dobio, onda smem podeliti [inlmath](1)[/inlmath] sa [inlmath]x_N[/inlmath], nakon čega se dobija:
[dispmath]x_M=0[/dispmath] što nije u saglasnosti sa [inlmath]x_M=4[/inlmath] što sam ja dobio.



Izvinjavam se ako sam napravio neku sramotno banalnu grešku, te molim još odgovor na ovo, i neću dalje zapitkivati, jer nije isprva ni bilo moje pitanje.

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 18:09
od miletrans
Zapravo se ja nisam najbolje izrazio :D
Kada sam napisao [inlmath]x_Ax_M=x_Mx_N[/inlmath] mislio sam na rastojanje između [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]x_M[/inlmath] odnosno [inlmath]x_M[/inlmath] i [inlmath]x_N[/inlmath], a ne na proizvod. Zato sam u svom postu napisao da se ovo odnosi na rastojanja. Nadam se da je sad sve ok, verovatno sam malo previše zakomplikovao. Naravno, slobodno napiši svaki komentar i pitanje, da otklonimo sve eventualne nedoumice onima koji bi u budućnosti došli na ovu temu. :D

Re: Mjera ugla izmedju pravih

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 18:32
od Jovan111
Da, sad je jasno. Sve je stvar nesporazuma, ali recimo da je povoljnije onda napisati [inlmath]\overline{x_Ax_M}=\overline{x_Mx_N}[/inlmath] :D
P.S. Hvala na odgovoru!