Stranica 1 od 1

Minimalan zbir dužina duži – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Sreda, 10. Jul 2019, 14:22
od Jovan111
Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
20. zadatak


U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu date su tačke [inlmath]A(2,1)[/inlmath] i [inlmath]B(4,3)[/inlmath]. Ako je [inlmath]C[/inlmath] tačka na [inlmath]x[/inlmath]-osi za koju je zbir dužina duži [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] minimalan, tada je taj zbir jednak:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;2\sqrt5;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\sqrt2\left(1+\sqrt5\right);\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;4\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\frac{5}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;1.[/inlmath]



Neka su date tačke [inlmath]A(2,1)[/inlmath] i [inlmath]B(4,3)[/inlmath]. Iako "pogađanjem" nećemo rešiti ovaj zadatak, ipak možemo doći na ideju kako da ga rešimo. Pretpostavimo postojanje neke tačke [inlmath]T[/inlmath] koja jeste na [inlmath]x[/inlmath]-osi, i koja bi mogla odgovarati zadatkom opisanoj tački [inlmath]C[/inlmath]. Tada primetimo da je zbir dužina [inlmath]AT+BT[/inlmath] analogan zadatkom traženom zbiru. Takođe, primetimo tačku [inlmath]A_1[/inlmath] simetričnu tački [inlmath]A[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu. Možemo uočiti [inlmath]AT=A_1T[/inlmath], jer su to stranice jednakokrakog trougla [inlmath]AA_1T[/inlmath], te važi [inlmath]AT+BT=A_1T+BT[/inlmath].

minimalan zbir.PNG
minimalan zbir.PNG (6.85 KiB) Pogledano 128 puta

Na osnovu rečenog zaključujemo da će minimalan zbir dužina [inlmath]AC+BC[/inlmath], analogan [inlmath]AT+BT[/inlmath], postojati akko se tačka [inlmath]C[/inlmath] bude nalazila na duži [inlmath]A_1B[/inlmath], jer bi tada važilo:
[dispmath]AC+BC=A_1C+BC=A_1B[/dispmath] gde je [inlmath]A_1B[/inlmath] stranica trougla [inlmath]A_1TB[/inlmath], a znamo da je dužina jedne od stranica trougla manja od zbira druge dve stranice, to jest:
[dispmath]A_1B<A_1T+BT\iff AC+BC<AT+BT[/dispmath] Koordinate tačke [inlmath]A_1[/inlmath] veoma se lako mogu naći iz koordinatnog sistema, kao koordinate tačke simetrične tački [inlmath]A(2,1)[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, pa je [inlmath]A_1(2,-1)[/inlmath]. Ostaje rešiti zadatak, a postupak rešavanja je priložen ispod.
[dispmath]AC+BC=A_1B=\sqrt{(4-2)^2+\bigl(3-(-1)\bigr)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt5[/dispmath]