Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Geometrijsko mesto sredista duzi

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Frank » Sreda, 22. April 2020, 14:16

Pozdrav! Zadatak glasi: Prava koja prolazi kroz koordinatni pocetak sece prave [inlmath]x+y=1[/inlmath] i [inlmath]x-y=1[/inlmath] u tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Odrediti geometrijsko mesto sredista duzi [inlmath]S[/inlmath] duzi [inlmath]AB[/inlmath].
Resenje: [inlmath]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=\frac{1}{4}[/inlmath], hiperbola.
Neka je [inlmath]l_1\colon x+y=1[/inlmath] i [inlmath]l_2\colon x-y=1[/inlmath]. Prava koja sece prave [inlmath]l_1[/inlmath] i [inlmath]l_2[/inlmath] prolazi kroz koordinatni pocetak, pa je njen oblik [inlmath]y=kx[/inlmath] [inlmath](n[/inlmath], odsecak na [inlmath]y[/inlmath]-osi, je [inlmath]0[/inlmath]). Sad sam odredio koordinate tacaka preseka prave [inlmath]y=kx[/inlmath] i prava [inlmath]l_1[/inlmath] (tacka [inlmath]A[/inlmath]) i [inlmath]l_2[/inlmath] (tacka [inlmath]B[/inlmath]). Koordinate tacke [inlmath]A[/inlmath] su [inlmath]A\left(\frac{1}{1+k},\frac{k}{1+k}\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(\frac{1}{1-k},\frac{k}{1-k}\right)[/inlmath]. Posto je tacka [inlmath]S[/inlmath] srediste duzi [inlmath]AB[/inlmath] njene koordinate su [inlmath]S\left(\frac{1}{1-k^2},\frac{k}{1-k^2}\right)[/inlmath]. Ne znam sta dalje... :think1:
Hvala unapred! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Daniel » Četvrtak, 23. April 2020, 07:03

Dovde je dobro. Sada iz koordinata tačke [inlmath]S[/inlmath] izrazi [inlmath]k[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath] i izrazi [inlmath]k[/inlmath] preko [inlmath]y[/inlmath]. Zatim izjednači ta dva izraza i dobićeš iracionalnu jednačinu čijim ćeš sređivanjem doći do tražene jednačine hiperbole.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Frank » Četvrtak, 23. April 2020, 16:06

Izrazio sam [inlmath]k[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]k=\sqrt{\frac{x-1}{x}}[/inlmath], ali nisam preko [inlmath]y[/inlmath]. Dobijem kvadratnu jednačinu kod koje diskriminanta nije bas ''lepa'', da bih se oslobodio korena, mada ni to ne bi imalo nekog posebnog efekta
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Daniel » Četvrtak, 23. April 2020, 19:03

A ko je uopšte rekao da diskriminanta mora biti lepa? Biće tu nešto posla, ali dâ se izračunati. Slobodno izrazi [inlmath]k[/inlmath] preko [inlmath]y[/inlmath] rešavanjem odgovarajuće kvadratne jednačine, izjednači [inlmath]k[/inlmath]-ove i sredi dobijenu iracionalnu jednačinu.

Ili, ako tako više voliš, možeš [inlmath]k^2[/inlmath] izraziti preko [inlmath]x[/inlmath] i preko [inlmath]y[/inlmath] – isti đavo, ionako bi u slučaju da izraziš [inlmath]k[/inlmath] prvi korak bio kvadriranje, a ovako, sa [inlmath]k^2[/inlmath], taj prvi korak preskačeš.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Frank » Petak, 24. April 2020, 12:19

Koji znak uzeti ispred korena diskriminante?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Daniel » Petak, 24. April 2020, 12:31

Nebitno. Ionako će se to posle kvadrirati.
Možeš staviti [inlmath]\pm[/inlmath], čisto radi korektnog zapisa.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Frank » Subota, 25. April 2020, 13:54

Kad dodjemo do trazene jednacine hiperbole, zasto je potrebno dodatno proveravati da li svakaka tacka hiperbole zadovoljava uslove zadatka? Zar ih nismo postavili na samom pocetku zadatka?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Daniel » Subota, 25. April 2020, 16:20

Potrebno je postaviti uslov da se tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] ne poklapaju, kako bismo mogli govoriti o duži [inlmath]AB[/inlmath].
A na osnovu čega si ti to zaključio, da li imaš objašnjen postupak u rešenju?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Geometrijsko mesto sredista duzi

Postod Frank » Subota, 25. April 2020, 16:49

Daniel je napisao:A na osnovu čega si ti to zaključio, da li imaš objašnjen postupak u rešenju?

Da, pa mi to nije najjasnije. Evo objašnjenja koji piše nakon dobijene jednačine hiperbole:
- Primetimo da se tačka [inlmath]O(0,0)[/inlmath], koja pripada toj hiperboli, dobija kao središte duzi koju date prave odsecaju na [inlmath]y[/inlmath]-osi. Lako se dokazuje da svaka tačka dobijene hiperbole predstavlja središte neke duzi [inlmath]AB[/inlmath].

Ovo je drugi deo rešenja. Prvi deo, kako doci do jednačine hiperbole, nisam pisao jer je manje-više sve objašnjeno u ovoj temi. Ovaj zadatak i nema neko detaljno objašnjenje kao neki drugi u kojima se takodje trazi GMT. U zadacima dodatno objašnjenje ne menja rešenje, ali ga opet iz nekog razloga pišu...
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 14 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 05:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs