Izvođenje formula za uslov dodira • MATEMANIJA
Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Izvođenje formula za uslov dodira

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Izvođenje formula za uslov dodira

Postod stevan95 » Nedelja, 16. Mart 2014, 01:24

Meni su najteže formule za pamćenje bile formule za uslov dodira, jer ni na prvi, a ni na drugi pogled, nemaju nikakvog smisla. Srećom, postoji veoma lak i jasan način da se do njih dođe izvođenjem i korišćenjem osnovnih formula u analitičkoj geometriji.



Kružnica

q3ss.png
Tangente kružnice
q3ss.png (9.21 KiB) Pogledano 14102 puta

Možemo primetiti da je svaka prava udaljena za poluprečnik, od centra kružnice. Dakle, možemo reći da je uslov dodira prave i kružnice u stvari sledeći: razdaljina prave od centra kružnice mora biti jednaka poluprečniku kružnice.
E, sad, da prevedemo to na jezik matematike.



Pre svega, da biste izvukli ovu formulu, trebalo bi da znate sledeće osnovne formule:
Formula za računanje razdaljine prave od tačke:
[dispmath]d(p,A)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/dispmath]
Naša prava će biti prava [inlmath]p_1[/inlmath], a tačka [inlmath]A(x_A,y_A)[/inlmath] će biti centar kružnice [inlmath]C[/inlmath].

Jednačina implicitnog oblika prave:
[dispmath]ax+by+c=0[/dispmath]


Izvlačenje formule za uslov dodira:

1) Dakle, imamo pravu [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath]. Prvo ćemo je prebaciti u implicitni oblik [inlmath]p_1:\:-kx+y-n=0[/inlmath]. Analogno opštoj formuli za implicitni oblik prave, možemo naći sledeće parametre:
[dispmath]a=-k\\
b=1\\
c=-n[/dispmath]
2) Kao što smo rekli, tačka u odnosu na koju "merimo" udaljenost prave [inlmath]p_1[/inlmath] će biti centar kružnice [inlmath]C(p,q)[/inlmath].
3) Sada ćemo ove podatke uvrstiti u opštu formulu za računanje razdaljine prave od tačke, gde će naša prava biti prava [inlmath]p_1[/inlmath], naša tačka biti tačka [inlmath]C[/inlmath], a njihova razdaljina poluprečnik [inlmath]r[/inlmath].
[dispmath]r=\frac{|-kp+q-n|}{\sqrt{(-k)^2+1^2}}[/dispmath][dispmath]r=\frac{|-kp+q-n|}{\sqrt{k^2+1}}[/dispmath][dispmath]r\cdot\sqrt{k^2+1}=|-kp+q-n|[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{r^2\cdot\left(k^2+1\right)=(-kp+q-n)^2}[/dispmath]


Elipsa/Hiperbola

Kod elipse koristimo drugu, ali takođe veoma jednostavnu logiku. Prisetimo se kakvog efekta ima rešavanje sistema dve krive. Rešavajući takav sistem, dobijamo tačku ili tačke preseka te dve krive. Hajdemo da u jednačinu elipse [inlmath]E:\:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] uvrstimo jednačinu prave [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath], dobićemo sledeće:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{(kx+n)^2}{b^2}=1[/dispmath][dispmath]\frac{x^2 b^2}{a^2 b^2}+\frac{(kx+n)^2a^2}{a^2b^2}=1[/dispmath][dispmath]\frac{x^2b^2+(kx+n)^2a^2}{a^2b^2}=1[/dispmath][dispmath]x^2b^2+(kx+n)^2a^2=a^2b^2[/dispmath][dispmath]x^2b^2+\left(k^2x^2+2kxn+n^2\right)a^2=a^2b^2[/dispmath][dispmath]x^2b^2+k^2x^2a^2+2kxna^2+n^2a^2-a^2b^2=0[/dispmath][dispmath]\left(b^2+k^2a^2\right)x^2+\left(2kna^2\right)x+\left(n^2a^2-a^2b^2\right)=0[/dispmath]
Da bi prava bila tangenta, mora imati samo jednu dodirnu tačku sa krivom, što znači da ova naša jednačina treba ispunjavati uslov [inlmath]D=0[/inlmath], kako bi se prava [inlmath]p_1[/inlmath] i elipsa [inlmath]E[/inlmath] sekle u jednoj tački.
[dispmath]0=\left(2kna^2\right)^2-4\cdot\left(b^2+k^2a^2\right)\left(n^2a^2-a^2b^2\right)[/dispmath][dispmath]0=4k^2n^2a^4-4\cdot\left(b^2n^2a^2-a^2b^4+k^2n^2a^4-k^2a^4b^2\right)[/dispmath][dispmath]0=\cancel{4k^2n^2a^4}-4b^2n^2a^2+4a^2b^4-\cancel{4k^2n^2a^4}+4k^2a^4b^2\quad /:4[/dispmath][dispmath]0=-b^2n^2a^2+a^2b^4+k^2a^4b^2\quad /:a^2b^2[/dispmath][dispmath]0=-n^2+b^2+k^2a^2[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{b^2+k^2a^2=n^2}[/dispmath]
Priča je potpuno ista za hiperbolu (naravno, jedina razlika je minus u jednačini hiperbole).



Parabola

Isti princip kao kod elipse i hiperbole. Ubacujemo jednačinu prave [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath] u jednačinu parabole [inlmath]P:\:y^2=2px[/inlmath]:
[dispmath](kx+n)^2=2px[/dispmath][dispmath]k^2x^2+2kxn+n^2=2px[/dispmath][dispmath]k^2x^2+2kxn+n^2-2px=0[/dispmath][dispmath]\left(k^2\right)x^2+(2kn-2p)x+n^2=0[/dispmath]
Važi uslov [inlmath]D=b^2-4ac=0[/inlmath], pri čemu je:
[dispmath]a=k^2\\
b=2kn-2p\\
c=n^2[/dispmath][dispmath]0=(2kn-2p)^2-4k^2n^2[/dispmath][dispmath]0=\cancel{4k^2n^2}-8knp+4p^2-\cancel{4k^2n^2}\quad /:4[/dispmath][dispmath]0=-2knp+p^2[/dispmath][dispmath]p^2=2knp\quad /:p[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{p=2kn}[/dispmath]


To bi bilo to. Neka izvlačenja su malo duža, ali imajte na umu da ste sa deset formula koje morate upamtiti spali na šest, a pritom ste eliminisali one koje imaju najmanje logike, pardon, nemaju nimalo logike :)
Čak sam išao do toga da merim vreme neophodno za izvlačenje ovih formula, kako bih ustanovio koliko bih vremena izgubio na prijemnom i dobio da mi za kružnicu treba oko dva i po minuta, elipsu i hiperbolu oko četiri i po minuta i parabolu oko dva i po minuta, dakle, ništa strašno.
Uključite logiku i uživajte u matematici! :D
stevanpetrov.wordpress.com
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 140
Lokacija: Vršac
Zahvalio se: 166 puta
Pohvaljen: 70 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 16. Avgust 2018, 14:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs