Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Gustina i matematičko očekivanje

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Gustina i matematičko očekivanje

Postod Ilija Varvarin » Sreda, 16. Maj 2018, 16:52

Pozdrav svima, ovako glasi zadatak:

Slučajna promjenljiva [inlmath]X[/inlmath] ima sa vjerovatnoćom [inlmath]0.3[/inlmath] eksponencijalnu raspodjelu [inlmath]\mathcal{E}(\lambda)[/inlmath], a sa vjerovatnoćom [inlmath]0.7[/inlmath] raspodjelu datu funkcijom gustine [inlmath]f_2(x)=\frac{1}{2}e^{−|x+1|}[/inlmath], za sve [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Naći gustinu i matematičko očekivanje slučajne promjenljive [inlmath]X[/inlmath].

Ne razumijem kako slucajna promjenljiva može imati raspodjelu sa nekom vjerovatnoćom, pretpostavljam da na intervalu [inlmath](-\infty,-1)[/inlmath] [inlmath]X[/inlmath] ima gustinu [inlmath]f(x)=\frac{1}{2}e^{x+1}[/inlmath], a na [inlmath][-1,0)[/inlmath] [inlmath]f(x)=\frac{1}{2}e^{-(x+1)}[/inlmath] jer je eksponencijalna raspodjela jednaka nuli na tim intervalima. Ali šta da radim na intervalu [inlmath](0,\infty)[/inlmath]?
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Gustina i matematičko očekivanje

Postod Daniel » Četvrtak, 17. Maj 2018, 17:21

Nije mi baš jednostavno da ovo objasnim mnogo jednostavnijim rečima nego što je to učinjeno u samom zadatku (u kojem je, po meni, prilično jasno rečeno o čemu se radi). Al' da pokušam.

Imamo dva moguća slučaja. Prvi je da će slučajna promenljiva imati eksponencijalnu raspodelu [inlmath]\mathcal{E}(\lambda)[/inlmath] (i verovatnoća tog slučaja je [inlmath]0,3[/inlmath]), a drugi slučaj je da će slučajna promenljiva imati raspodelu [inlmath]f_2(x)=\frac{1}{2}e^{−|x+1|}[/inlmath] (i verovatnoća tog slučaja je [inlmath]0,7[/inlmath]).

To znači, verovatnoću da slučajna promenljiva pripada npr. nekom intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath] dobio bi kao [inlmath]0,3p_1+0,7p_2[/inlmath], gde je [inlmath]p_1[/inlmath] verovatnoća da slučajna promenljiva koja ima raspodelu [inlmath]\mathcal{E}(\lambda)[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath], a [inlmath]p_2[/inlmath] verovatnoća da slučajna promenljiva koja ima raspodelu [inlmath]f_2(x)[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7305
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Gustina i matematičko očekivanje

Postod Ilija Varvarin » Četvrtak, 17. Maj 2018, 22:32

Hvala na objašnjenju, ne bih nikad primijetio da ovdje iskoristim totalnu vjerovatnoću. To znači da ova slučajna promjenljiva nije ni diskretnog ni neprekidnog tipa. Ali kako da odredim ove vjerovatnoće [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath]?
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Gustina i matematičko očekivanje

Postod Daniel » Ponedeljak, 21. Maj 2018, 00:37

Ova slučajna promenljiva jeste neprekidnog tipa, jer ovako kako je zadata može imati bilo koju vrednost iz skupa realnih brojeva. Kao što ti napisah, koji god interval [inlmath](a,b)[/inlmath] da posmatraš ([inlmath]a<b[/inlmath]), slučajna promenljiva će s nekom nenultnom verovatnoćom pripadati tom intervalu. Verovatnoće [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath] iz mog primera određuješ tako što za prvu posmatraš gustinu eksponencijalne raspodele na tom intervalu, a za drugu posmatraš gustinu [inlmath]f_2(x)[/inlmath] na tom intervalu. Dakle, [inlmath]p_1=\int\limits_a^bf_1(x)\,\mathrm dx[/inlmath] i [inlmath]p_2=\int\limits_a^bf_2(x)\,\mathrm dx[/inlmath], gde je [inlmath]f_1(x)=\begin{cases} 0, & x<0\\ \lambda e^{-\lambda x}, & x\ge0 \end{cases}[/inlmath] (tj. zadata eksponencijalna funkcija), dok je [inlmath]f_2(x)[/inlmath] zadata izrazom u tekstu zadatka.

Prema tome, verovatnoća da će slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] pripadati nekom intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath] jednaka je [inlmath]0,3p_1+0,7p_2[/inlmath], tj. [inlmath]0,3\int\limits_a^bf_1(x)\,\mathrm dx+0,7\int\limits_a^bf_2(x)\,\mathrm dx[/inlmath], tj. [inlmath]\int\limits_a^b\bigl(0,3f_1(x)+0,7f_2(x)\bigr)\,\mathrm dx[/inlmath]. Mislim da je odavde sasvim vidljivo da je gustina slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] kontinualna funkcija, kao i čemu je jednaka.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7305
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Gustina i matematičko očekivanje

Postod Ilija Varvarin » Subota, 23. Jun 2018, 23:05

Funkcija gustine:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\frac{0,7}{2}e^{x+1}, & x<-1\\
\frac{0,7}{2}e^{-(x+1)}, & -1\leq x<0\\
0,3\lambda e^{-\lambda x}+\frac{0,7}{2}e^{-(x+1)}, & x\ge0
\end{cases}[/dispmath] Matematičko očekivanje [inlmath]E(X)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,\mathrm dx=\frac{0,3}{\lambda}-1,4[/inlmath].
Da li je ovo tačno rješenje?
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Gustina i matematičko očekivanje

Postod Daniel » Nedelja, 24. Jun 2018, 14:12

Ja dobijem [inlmath]\frac{0,3}{\lambda}-0,7[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7305
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Gustina i matematičko očekivanje

Postod Ilija Varvarin » Nedelja, 24. Jun 2018, 14:30

Da, greška u prvom integralu tj. [inlmath]2/2=2[/inlmath] :lol:
Hvala na pomoći! :)
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Oktobar 2018, 19:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs