Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Kada novčić ne pokriva cjelobrojne koordinate

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Kada novčić ne pokriva cjelobrojne koordinate

Postod dr.trovacek » Četvrtak, 11. Oktobar 2018, 13:14

Na ravninu na kojoj su istaknute točke s cjelobrojnim koordinatama bačen je novčić promjera [inlmath]0.5[/inlmath] jedinica.
Kolika je vjerojatnost da novčić neće pokriti nijednu istaknutu točku?


Rješenje: [inlmath]1-\frac{\pi}{4}[/inlmath]

Dobijem ovo rješenje ali ako stavim da je polumjer (radijus), a ne promjer (dijametar) [inlmath]0.5[/inlmath] jedinica.
Uzeo sam jedan jedinični kvadrat iz koordinatne mreže i zamislio krugove (čije su površine jednake površini novčića) kako pokrivaju četiri ugla jednog kvadrata. Središta tih krugova su u vrhovima kvadrata, odnosno cjelobrojnim koordinatama koje čine taj neki jedinični kvadrat iz koordinatne mreže. Novčić pokriva cjelobrojnu točku, odnosno neku od točaka u vrhovima kvadrata, ako je njegovo središte (novčića) unutar četvrtine nekog od zamišljenih krugova.

[inlmath]A=[/inlmath]{novčić ne pokriva nijednu istaknutu točku}
[inlmath]\bar{A}=[/inlmath]{novčić pokriva barem jednu istaknutu točku}
Dakle, četvrtina svakog zamišljenog kruga nalazi se unutar kvadrata, a krugova (zapravo četvrtina krugova) imamo četiri.
Kad bi polumjer (radijus) bio [inlmath]0.5[/inlmath] dobijem:
[dispmath]m(\bar{A})=4\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\pi=\frac{\pi}{4}\\
P(\bar{A})=\frac{m(\bar{A})}{m(\Omega)}=\frac{\frac{\pi}{4}}{1}=\frac{\pi}{4}\\
P(A)=1-\frac{\pi}{4}[/dispmath] Tu mi je [inlmath]\Omega[/inlmath] podskup zadane ravnine, odnosno jedinični kvadrat, a komplementarni skupovi [inlmath]\bar{A}[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] su podskupovi od [inlmath]\Omega[/inlmath].

Da sam uvrstio kao što je zadano dobio bih da je [inlmath]P(\bar{A})=\frac{\pi}{16}[/inlmath] i [inlmath]P(A)=1-\frac{\pi}{16}[/inlmath]

Ne znam drugačije, a radio sam po uzoru na jedan sličan zadatak. Cijelo vrijeme sumnjam u svoje rješenje najviše zbog toga što me muči to što novčić leži i izvan ovog jediničnog kvadratića kada mu središte padne u ove četvrtine, pa ne znam da li se to može ovako. :think1:
Osim toga, našao sam neki dokument s Prirodoslovno-matematičkog fakulteta u Zagrebu u kojem je jednako zadan zadatak i rješenje.

Molim za savjet i možebitne kritike. Hvala.
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Kada novčić ne pokriva cjelobrojne koordinate

Postod Daniel » Utorak, 16. Oktobar 2018, 22:07

Ja bih radio na potpuno isti način, i potvrđujem tačnost tvog rešenja. Nije zgoreg kod ovakvih zadataka nacrtati i skicu, čime se može grubo proveriti da li se dobijeni rezultat uklapa u ono što vidimo na skici:

novcic.png
novcic.png (890 Bajta) Pogledano 42 puta

Naravno, plava površina odgovara traženoj verovatnoći u slučaju da je dijametar jednak [inlmath]0,5[/inlmath] (slika levo) i u slučaju da je radijus jednak [inlmath]0,5[/inlmath] (slika desno) – pri čemu je stranica kvadrata jednaka [inlmath]1[/inlmath].
Vidimo da se izračunate verovatnoće slažu s procentom koji unutar kvadrata zauzima plava površina (kô što rekoh, ovo je gruba provera). Ali, definitivno plava površina na slici levo ne bi odgovarala verovatnoći na slici desno (ili obratno). Tako da, u tekstu zadatka treba da stoji da je radijus jednak [inlmath]0,5[/inlmath] (ili da je dijametar jednak [inlmath]1[/inlmath]) kako bi se dobilo rešenje [inlmath]1-\frac{\pi}{4}[/inlmath].

dr.trovacek je napisao:Cijelo vrijeme sumnjam u svoje rješenje najviše zbog toga što me muči to što novčić leži i izvan ovog jediničnog kvadratića kada mu središte padne u ove četvrtine, pa ne znam da li se to može ovako. :think1:

Sasvim je u redu taj način. Poređenja radi, ako treba da na slučajan način odaberemo bilo koji trenutak u periodu od narednih [inlmath]20[/inlmath] godina, kolika je verovatnoća da će se taj odabrani trenutak naći u intervalu između [inlmath]16\text{ h}[/inlmath] i [inlmath]17\text{ h}[/inlmath] – naravno, verovatnoća će biti [inlmath]\frac{1}{24}[/inlmath], do čega smo došli ako posmatramo period od jednog dana, budući da se dan periodično ponavlja. Isti je slučaj i ovde, kvadrati se periodično ponavljaju kako po vertikali tako i po horizontali, tako da je sasvim u redu traženje verovatnoće ograničiti na jedan kvadrat.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7321
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3806 puta
Pohvaljen: 3957 puta

Re: Kada novčić ne pokriva cjelobrojne koordinate

Postod dr.trovacek » Sreda, 17. Oktobar 2018, 15:13

Da i ja sam također skicirao površine i isto mi nije imalo smisla, ali eto htio sam provjeriti jer mi je zadatak zanimljiv.
Analogija s vremenom je odlično reprezentativna. :thumbup:
Hvala!
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 13. Novembar 2018, 01:39 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs