Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Troboj

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]
  • +1

Troboj

Postod arsenije » Subota, 21. Septembar 2019, 09:27

Jedan zanimljiv zadatak iz teorije verovatnoće (naročito zbog konačnog rešenja) koji sam rešio i bio i sam iznenađen rešenjem:
Miloš, Marko i Milan su rešili da idu na dvoboj pištoljima (bolje reći troboj pošto su trojica). Odredivši žrebom ko će da gađa prvi, ko drugi, a ko treći, oni su se postavili na svoja mesta u temenima jednakostraničnog trougla. Dogovorili su se da onaj koji je na redu jedan put gađa i može da nišani u koga želi. Duel traje dok ne budu ubijena dva njegova učesnika. Redosled gađanja se određuje žrebom i ostaje nepromenjen do kraja. Sva trojica učesnika znaju svoje protivnike: Miloš nikad ne promašuje (pogađa [inlmath]100\%[/inlmath]), Marko pogađa metu u [inlmath]80\%[/inlmath] slučajeva, dok Milan pogađa sa [inlmath]50\%[/inlmath]. Izračunati verovatnoću preživljavanja svakog učesnika, i samim tim odrediti ko od njih ima najveću šansu da preživi duel?
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Troboj

Postod Daniel » Subota, 21. Septembar 2019, 15:37

Vrlo interesantan zadatak, zabaviću se njime ovih dana, s uživanjem.

Nešto mi samo tu nije sasvim jasno. Da li se pretpostavlja da svaki od te trojice s podjednakom verovatnoćom ([inlmath]0,5[/inlmath]) odlučuje hoće li gađati onog drugog ili onog trećeg?

Ovo pitam, jer bi to bilo dosta nelogično – uzmimo da je redosled gađanja Marko–Miloš–Milan. Marku tada ne bi bilo nimalo svejedno da li bi gađao Miloša ili Milana, jer ako bi pogodio Miloša imao bi još šanse da preživi, a ako bi koknuo Milana tada bi se u narednom (Miloševom) potezu našao na meti Miloša koji ne promašuje...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7728
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4057 puta
Pohvaljen: 4120 puta

Re: Troboj

Postod arsenije » Subota, 21. Septembar 2019, 20:41

Obzirom da se redosled gađanja određuje žrebom (mi ne znamo ishod žrebanja), moramo uzeti u obzir sve kombinacije. Takođe moramo uzeti u obzir sve kombinacije prilikom gađanja pojedinih učesnika (kad na početku imaju mogućnost da biraju koga da gađaju od dvojice učesnika treba računati verovatnoću i u jednom i u drugom slučaju). Konkretno, recimo Marko prvi puca. Može da puca ili na Miloša ili na Milana. Potrebno je izračunati verovatnoću preživljavanja i u jednom i u drugom slučaju. Takođe je potrebno voditi računa o ishodima gađanja Marka i Milana, jer oni mogu i da pogode i da promaše, pa shodno tome tako i treba računati verovatnoću preživljavanja.
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Troboj

Postod Daniel » Subota, 21. Septembar 2019, 21:51

Ma dobro, sve je to OK, ali to uopšte nije ono što sam pitao. Bezveze si se raspisao, i sasvim nepotrebno otkrio dobar deo rešavanja zadatka. A na ono što sam pitao nisi odgovorio.

Da pokušam da pojasnim svoje pitanje (mada mislim da je i onako bilo dovoljno jasno). Recimo da Marko gađa prvi. Da li su verovatnoća da će gađati Miloša i verovatnoća da će gađati Milana međusobno jednake (i iznose [inlmath]0,5[/inlmath])? Eto, samo to je bilo moje pitanje, ništa više. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7728
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4057 puta
Pohvaljen: 4120 puta

Re: Troboj

Postod arsenije » Nedelja, 22. Septembar 2019, 08:42

Verovatnoće gađanja Marka jednog ili drugog su iste ([inlmath]0,5[/inlmath]), ali ti ta informacija ništa ne pomaže, jer i u jednom i u drugom slučaju moraš izračunati verovatnoću njegovog preživljavanja.
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Troboj

Postod Daniel » Nedelja, 22. Septembar 2019, 23:28

Ta informacija ne da pomaže, nego je bez nje čak i nemoguće rešiti zadatak. Ako si ti rešio zadatak ne koristeći tu informaciju, onda smem s priličnom sigurnošću da kažem da tvoje rešenje nije ispravno.

Ta informacija govori i o ne baš visokoj inteligenciji trojice učesnika (tačnije, dvojice – Marka i Milana), jer ako, dok je Miloš u igri, Marko s verovatnoćom [inlmath]0,5[/inlmath] gađa u Milana (ili Milan u Marka), time je, ako ga pogodi, potpisao sebi smrtnu presudu – valjda razumeš zašto.

Imam rešenje, ali neću ga objavljivati još neko vreme, kako bih i drugim zainteresovanima (a veoma se nadam da će ih biti) pružio priliku da pokušaju. Kao što rekoh, problem je dosta zanimljiv, ima malo više posla (jer treba analizirati sve moguće situacije), ali sama rešenja i nisu ništa iznenađujuća – u skladu su s onim što i intuitivno možemo očekivati.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7728
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4057 puta
Pohvaljen: 4120 puta

  • +1

Re: Troboj

Postod Daniel » Sreda, 09. Oktobar 2019, 23:21

OK, mislim da je vreme da prokomentarišem rešavanje ovog zadatka.
Prvo – oznake. Bilo bi nezgodno koristiti početna slova imena, jer bismo onda imali tri „[inlmath]M[/inlmath]“. Označićemo zato tu trojicu sa [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], pri čemu [inlmath]A[/inlmath] pogađa [inlmath]100\%[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] pogađa u [inlmath]80\%[/inlmath] slučajeva, a [inlmath]C[/inlmath] u [inlmath]50\%[/inlmath].
Zatim, što se tiče redosleda gađanja, imamo [inlmath]6[/inlmath] slučajeva (broj permutacija bez ponavljanja od [inlmath]3[/inlmath] elementa, [inlmath]P_3=3!=6[/inlmath]). To su slučajevi:
[dispmath]ABC\quad ACB\\
BAC\quad CAB\\
BCA\quad CBA[/dispmath] Slučajevi [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]ACB[/inlmath] su najjednostavniji, jer tada [inlmath]A[/inlmath] u startu kokne nekog od preostalih, zatim onaj preživeli ili kokne [inlmath]A[/inlmath] (čime je igra gotova), ili ga promaši pa [inlmath]A[/inlmath] u sledećem potezu kokne njega (čime je igra takođe gotova).
Pokazaću slučaj [inlmath]ABC[/inlmath], dok se slučaj [inlmath]ACB[/inlmath] radi sasvim analogno – njega prepuštam drugima, da ne bude da sam ja sve uradio.



Dakle, za slučaj [inlmath]ABC[/inlmath], verovatnoća preživljavanja igrača [inlmath]B[/inlmath] bila bi jednaka proizvodu verovatnoće da [inlmath]A[/inlmath] nije gađao u [inlmath]B[/inlmath] već je pogodio [inlmath]C[/inlmath] (a koja iznosi [inlmath]0,5[/inlmath]) i verovatnoće da je, u narednom potezu, [inlmath]B[/inlmath] pogodio [inlmath]A[/inlmath] (koja iznosi [inlmath]0,8[/inlmath]):
[dispmath]P(B)=0,5\cdot0,8=0,4[/dispmath] Verovatnoća preživljavanja igrača [inlmath]C[/inlmath] jednaka je verovatnoći da [inlmath]A[/inlmath] nije pogodio [inlmath]C[/inlmath] nego je pogodio [inlmath]B[/inlmath] (a koja iznosi [inlmath]0,5[/inlmath]) i verovatnoće da je, u narednom potezu, [inlmath]C[/inlmath] pogodio [inlmath]A[/inlmath] (koja iznosi [inlmath]0,5[/inlmath]):
[dispmath]P(C)=0,5\cdot0,5=0,25[/dispmath] Verovatnoća preživaljvanja igrača [inlmath]A[/inlmath] računa se nešto malo složenije (naravno, može kao [inlmath]1-P(B)-P(C)[/inlmath], ali je najsigurnije izračunati svaku posebno pa ako im je zbir jednak [inlmath]1[/inlmath] to je najbolja provera da smo sve tačno odradili). U slučaju da je [inlmath]A[/inlmath] u prvom potezu pogodio [inlmath]B[/inlmath] (a verovatnoća za to je [inlmath]0,5[/inlmath]), igrač [inlmath]A[/inlmath] će preživeti ako ga [inlmath]C[/inlmath] promaši (a verovatnoća za to je [inlmath]0,5[/inlmath]); u slučaju da je [inlmath]A[/inlmath] u prvom potezu pogodio [inlmath]C[/inlmath] (a verovatnoća za to je [inlmath]0,5[/inlmath]), igrač [inlmath]A[/inlmath] će preživeti ako ga [inlmath]B[/inlmath] promaši (a verovatnoća za to je [inlmath]0,2[/inlmath]). Dakle:
[dispmath]P(A)=0,5\cdot0,5+0,5\cdot0,2=0,35[/dispmath] Samo na ovom primeru vidi se koliko je neophodan podatak da igrač s pojednakom verovatnoćom gađa u nekog od preostala dva igrača, jer bez tog podatka ne bismo mogli mrdnuti sa zadatkom.



Slučaj [inlmath]BAC[/inlmath]. Ovaj slučaj je već zanimljiviji, jer ovakav raspored otvara mogućnost da [inlmath]A[/inlmath] u startu bude ubijen, čime u igri ostaju [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], od kojih nijedan nije savršen strelac, pa teoretski njihov dvoboj može da potraje do u beskonačnost (u slučaju da i jedan i drugi uporno promašuju).

No, krenimo prvo od najjednostavnijeg za računanje – to je verovatnoća preživljavanja igrača [inlmath]A[/inlmath]. Igrač [inlmath]A[/inlmath] će preživeti u jednom od dva slučaja:
  • [inlmath]B[/inlmath] pogađa [inlmath]C[/inlmath] (jer će u narednom potezu [inlmath]A[/inlmath] pogoditi [inlmath]B[/inlmath]) – verovatnoća da će [inlmath]B[/inlmath] pogoditi [inlmath]C[/inlmath] jednaka je proizvodu verovatnoće da je [inlmath]B[/inlmath] pogodio ([inlmath]0,8[/inlmath]) i verovatnoće da je pogodio u [inlmath]C[/inlmath] a ne u [inlmath]A[/inlmath] ([inlmath]0,5[/inlmath]); prema tome, [inlmath]0,8\cdot0,5[/inlmath];
  • [inlmath]B[/inlmath] promašuje, u koga god da je gađao (verovatnoća za ovo je [inlmath]0,2[/inlmath]); u narednom potezu ako [inlmath]A[/inlmath] pogodi [inlmath]B[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), tada je potrebno da [inlmath]C[/inlmath] promaši [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), a ako [inlmath]A[/inlmath] pogodi [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), tada je potrebno da [inlmath]B[/inlmath] promaši [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]) – dakle, [inlmath]0,2(0,5\cdot0,5+0,5\cdot0,2)[/inlmath].
[dispmath]P(A)=0,8\cdot0,5+0,2\left(0,5\cdot0,5+0,5\cdot0,2\right)=0,47[/dispmath] S verovatnoćom preživaljavanja igrača [inlmath]B[/inlmath] stvar je zanimljivija. On će preživeti u jednom od dva slučaja:
  • [inlmath]B[/inlmath] pogađa (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]) i pritom ne pogađa [inlmath]C[/inlmath] (jer bi u sledećem potezu [inlmath]A[/inlmath] pogodio [inlmath]B[/inlmath]), već pogađa [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]); zatim ga [inlmath]C[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]); sada ili [inlmath]B[/inlmath] pogađa [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]), ili [inlmath]B[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]) pa [inlmath]C[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) pa onda opet – ili [inlmath]B[/inlmath] pogađa [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]), ili [inlmath]B[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]) pa [inlmath]C[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) i tako do u bekosnačnost; prema tome, [inlmath]0,8\cdot0,5\cdot0,5\Bigl(0,8+0,2\cdot0,5\bigl(0,8+0,2\cdot0,5(0,8+\cdots)\bigr)\Bigr)[/inlmath];
  • [inlmath]B[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]), nakon čega [inlmath]A[/inlmath] pogađa [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), nakon čega [inlmath]B[/inlmath] pogađa [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]) – dakle, [inlmath]0,2\cdot0,5\cdot0,8[/inlmath].
[dispmath]P(B)=0,8\cdot0,5\cdot0,5\Bigl(0,8+0,2\cdot0,5\bigl(0,8+0,2\cdot0,5(0,8+\cdots)\bigr)\Bigr)+0,2\cdot0,5\cdot0,8[/dispmath] Vrednost beskonačnog izraza unutar zagrade može se izračunati postupkom nalaženja limesa niza, pri čemu se za taj izraz dobije da iznosi [inlmath]\frac{8}{9}[/inlmath]. Odatle je
[dispmath]P(B)=0,8\cdot0,5\cdot0,5\cdot\frac{8}{9}+0,2\cdot0,5\cdot0,8=\frac{58}{225}\quad(\approx0,26)[/dispmath] Verovatnoća preživaljvanja igrača [inlmath]C[/inlmath] računa se po sličnom principu. Opet imamo dva slučaja:
  • [inlmath]B[/inlmath] pogađa (verovatnoća [inlmath]0,8[/inlmath]) i pritom ne pogađa [inlmath]C[/inlmath] već [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]); sada [inlmath]C[/inlmath] ima dva načina da preživi: ili u sledećem potezu pogađa igrača [inlmath]B[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), ili ga promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) pa onda i [inlmath]B[/inlmath] promašuje [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]), nakon čega [inlmath]C[/inlmath] opet ima dva načina da preživi – ili će pogoditi igrača [inlmath]B[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), ili ga promašuje (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) pa onda i [inlmath]B[/inlmath] promašuje [inlmath]C[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]), nakon čega [inlmath]C[/inlmath] opet ima dva načina da preživi, i tako do u beskonačnost: [inlmath]0,8\cdot0,5\Bigl(0,5+0,5\cdot0,2\bigl(0,5+0,5\cdot0,2(0,5+\cdots)\bigr)\Bigr)[/inlmath];
  • [inlmath]B[/inlmath] promašuje (verovatnoća [inlmath]0,2[/inlmath]), nakon čega [inlmath]A[/inlmath] pogađa [inlmath]B[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]), pa [inlmath]C[/inlmath] pogađa [inlmath]A[/inlmath] (verovatnoća [inlmath]0,5[/inlmath]) – dakle, [inlmath]0,2\cdot0,5\cdot0,5[/inlmath].
[dispmath]P(C)=0,8\cdot0,5\Bigl(0,5+0,5\cdot0,2\bigl(0,5+0,5\cdot0,2(0,5+\cdots)\bigr)\Bigr)+0,2\cdot0,5\cdot0,5[/dispmath] Za vrednost beskonačnog izraza unutar zagrade dobije se [inlmath]\frac{5}{9}[/inlmath]. Odatle je
[dispmath]P(C)=0,8\cdot0,5\cdot\frac{5}{9}+0,2\cdot0,5\cdot0,5=\frac{49}{180}\quad(\approx0,27)[/dispmath]


Slično se uradi i za ostale slučajeve, da sad ne ispisujem sve, ko želi eto mu zanimacije. Kod slučajeva [inlmath]BCA[/inlmath] i [inlmath]CBA[/inlmath] – tj. kod slučajeva u kojima [inlmath]A[/inlmath] gađa poslednji (i to ako uopšte stigne) – prilikom računanja verovatnoće preživljavanja i za [inlmath]B[/inlmath] i za [inlmath]C[/inlmath] imaćemo po dva scenarija u kojima može doći do „beskonačnog“ dvoboja, što ova dva slučaja čini još interesantnijim. Namerno ne pokazujem te postupke (zasad), toplo preporučujem da pokušate da ih uradite.

Na kraju, kad se uzmu u obzir rezultati svih šest slučajeva, dobija se
[dispmath]P(A)=\frac{171}{400}=42,75\%\\
P(B)=\frac{157}{450}\approx34,89\%\\
P(C)=\frac{161}{720}\approx22,36\%[/dispmath] Dakle, nimalo neiznenađujuć rezultat. Igrač [inlmath]A[/inlmath], kao što se i očekivalo, ima najviše šanse da preživi, dok najmanje šanse ima igrač [inlmath]C[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7728
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4057 puta
Pohvaljen: 4120 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 14. Oktobar 2019, 20:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs