Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Lucky six verovatnoca

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Lucky six verovatnoca

Postod tanlleoni » Petak, 15. Maj 2020, 19:40

Pozdrav drugari,

Pokusavam da izracunam verovatnocu za lucky six, da izadje [inlmath]\times10[/inlmath].
Ukupno ima [inlmath]48[/inlmath] brojeva, [inlmath]35[/inlmath] se izvlaci do kraja. Medjutim [inlmath]\times10[/inlmath] je na [inlmath]27.[/inlmath] izvlacenju. Znaci [inlmath]27.[/inlmath] izvucen broj treba da bude jedan od mojih [inlmath]6[/inlmath], a da su onih [inlmath]5[/inlmath] izvuceni ranije.
[dispmath]P(A)=\frac{\text{nesto}}{{48\choose1}\cdot{47\choose1}\cdot{46\choose1}\cdots{22\choose1}}[/dispmath] Svi moguci dogadjaji bi mi bili da u svakom vucem po jednu kuglicu i smanjujem broj kuglica. A povoljni dogadjaji ne znam sta treba da budu. Posto na [inlmath]27.[/inlmath] izvlacenju mora biti jedan od mojih brojeva, tj fiksiran je. Onda gledam kao da [inlmath]5[/inlmath] elemenata rasporedjujem na [inlmath]26[/inlmath] mesta, ali opet to je zavisno, mozda ovako:
[dispmath]{26\choose5}\cdot{25\choose4}\cdot{24\choose3}\cdot{23\choose2}\cdot{22\choose1}[/dispmath] Ako bi neko mogao da mi pomogne, nije zadatak, vec je meni palo na pamet :D
Hvala
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Lucky six verovatnoca

Postod Daniel » Nedelja, 17. Maj 2020, 20:31

Pokazaću postupak za opštiji slučaj, da računamo verovatnoću da će se poslednji od [inlmath]6[/inlmath] posmatranih brojeva pojaviti u [inlmath]n[/inlmath]-tom izvlačenju. Dakle, u tvom primeru je [inlmath]n=27[/inlmath], lako to posle uvrstiš.

Možemo računati na više načina, ali je rezultat uvek isti (i to što je rezultat isti, najbolja je potvrda ispravnosti rešenja).



Prvi način (posmatramo brojeve pre [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta, pri čemu je njihov redosled bitan – onako kako si i ti krenuo da radiš):

Broj povoljnih slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu treba da se nađe neki od naših [inlmath]6[/inlmath] brojeva – znači, [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
Od [inlmath]n-1[/inlmath] prethodnih mesta, pošto se na [inlmath]5[/inlmath] mesta nalaze preostalih [inlmath]5[/inlmath] naših brojeva, na preostalih [inlmath]n-6[/inlmath] mesta treba da se nađu neki od [inlmath]48-6[/inlmath] preostalih brojeva. Njih možemo izabrati na [inlmath]42\choose n-6[/inlmath] načina, a zatim za tako izabranih [inlmath]n-1[/inlmath] brojeva nađemo još broj njihovih mogućih rasporeda ([inlmath]P_{n-1}=(n-1)![/inlmath]).
Dakle, broj povoljnih slučajeva je [inlmath]6\cdot{42\choose n-6}\cdot(n-1)![/inlmath].

Ukupan broj mogućnosti je broj načina na koje možemo od ukupno [inlmath]48[/inlmath] raspoloživih brojeva odabrati njih [inlmath]n[/inlmath], pri čemu je redosled bitan – to su varijacije bez ponavljanja [inlmath]V_{48}^n=\frac{48!}{(48-n)!}={48\choose n}\cdot n![/inlmath] (to je zapravo ono što si već izračunao, ali preko varijacija je nešto elegantnije).

Verovatnoća da će poslednji od šest izabranih brojeva biti izvučen [inlmath]n[/inlmath]-ti po redu jeste:
[dispmath]P(n)=\frac{6\cdot{42\choose n-6}\cdot(n-1)!}{{48\choose n}\cdot n!}[/dispmath]


Drugi način (posmatramo brojeve pre [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta, pri čemu njihov redosled nije bitan):

Broj povoljnih slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu treba da se nađe neki od naših [inlmath]6[/inlmath] brojeva – znači, [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
Od [inlmath]n-1[/inlmath] prethodnih mesta, pošto se na [inlmath]5[/inlmath] mesta nalaze preostalih [inlmath]5[/inlmath] naših brojeva, ostaje [inlmath]n-6[/inlmath] mesta na kojima treba da se nađu neki od [inlmath]48-6[/inlmath] preostalih brojeva.
To je ukupno [inlmath]6\cdot{42\choose n-6}[/inlmath] povoljnih mogućnosti.

Ukupan broj slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu može da se nađe neki od [inlmath]48[/inlmath] raspoloživih brojeva, to je [inlmath]48[/inlmath] mogućnosti. Na [inlmath]n-1[/inlmath] mesta koja prethode [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu raspoređujemo neke od preostalih [inlmath]47[/inlmath] brojeva, dakle, to možemo učiniti na [inlmath]47\choose n-1[/inlmath] načina. Ukupan broj slučajeva je, prema tome, [inlmath]48\cdot{47\choose n-1}[/inlmath].

Verovatnoća je jednaka
[dispmath]P(n)=\frac{6\cdot{42\choose n-6}}{48\cdot{47\choose n-1}}[/dispmath]


Treći način (ne posmatramo brojeve pre [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta, već one nakon [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta):
Iako se izvlači samo [inlmath]35[/inlmath] brojeva, nas to ne sprečava da problem posmatramo kao da se izvlači svih [inlmath]48[/inlmath] brojeva pri čemu oni izvučeni od [inlmath]36.[/inlmath] mesta pa nadalje ne utiču na dobitak. Cilj nam je da nakon [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta nema nijednog od naših brojeva, jer će to značiti da su svi raspoređeni do [inlmath]n[/inlmath]-tog mesta.

Broj povoljnih slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu treba da se nađe jedan od [inlmath]6[/inlmath] naših brojeva – to je [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
Na mestima od [inlmath](n+1).[/inlmath] do [inlmath]48[/inlmath]-og ne sme, dakle, da se nađe nijedan od [inlmath]6[/inlmath] naših brojeva, što znači da na tih [inlmath]48-n[/inlmath] mesta treba da se nađu neki od preostalih [inlmath]48-6[/inlmath] brojeva.
To je [inlmath]6\cdot{42\choose48-n}[/inlmath] povoljnih mogućnosti.

Ukupan broj slučajeva:
Na [inlmath]n[/inlmath]-tom mestu se može naći bilo koji od [inlmath]48[/inlmath] raspoloživih brojeva, a na preostalim mestima od [inlmath](n+1).[/inlmath] do [inlmath]48[/inlmath]-og može se naći neki od preostalih [inlmath]47[/inlmath] brojeva.
Ukupan broj slučajeva je, prema tome, [inlmath]48\cdot{47\choose48-n}[/inlmath].

Verovatnoća je jednaka
[dispmath]P(n)=\frac{6\cdot{42\choose48-n}}{48\cdot{47\choose48-n}}[/dispmath]


Četvrti način (biramo ona mesta (izvlačenja) na koja ćemo smestiti naše brojeve):

Broj povoljnih slučajeva:
[inlmath]n[/inlmath]-to mesto je već „zauzeto“ jednim od [inlmath]6[/inlmath] naših brojeva, potrebno je naći broj načina na koji od [inlmath]n-1[/inlmath] prethodnih mesta možemo odabrati njih [inlmath]5[/inlmath] na koja ćemo smestiti preostalih [inlmath]5[/inlmath] naših brojeva. To možemo učiniti na [inlmath]n-1\choose5[/inlmath] načina, i to je broj povoljnih slučajeva.

Ukupan broj slučajeva:
Pošto sada onih [inlmath]6[/inlmath] naših brojeva možemo rasporediti bilo gde, to znači da od ukupno [inlmath]48[/inlmath] mesta biramo [inlmath]6[/inlmath] na koja ćemo rasporediti naše brojeve, a to možemo učiniti na [inlmath]48\choose6[/inlmath] načina, i to je ukupan broj mogućnosti.

Verovatnoća je
[dispmath]P(n)=\frac{n-1\choose5}{48\choose6}[/dispmath]


Na sva četiri načina, kada se izraz za verovatnoću sredi, dobije se identičan rezultat,
[dispmath]\enclose{box}{P(n)=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{1472581440}}[/dispmath] Takođe, kada se (softverski) izračuna suma [inlmath]\sum\limits_{n=6}^{n=48}P(n)[/inlmath] dobije se [inlmath]1[/inlmath], što je još jedna potvrda ispravnosti rezultata.

Grafik raspodele verovatnoće izgleda ovako (zeleno je s dobicima, crno je bez dobitaka):

verovatnoca.png
verovatnoca.png (2.09 KiB) Pogledano 76 puta

Cilj ovog objašnjenja je isključivo u edukativne svrhe. Nikako ne bih želeo da ovo nekoga navede na kockanje, nego baš naprotiv, da odvrati ljude od kockanja. Ponovio bih ono što je nekada aktivan forumaš desideri non-stop govorio – „Nemojte se kockati, dobijate sigurno.“
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8133
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4258 puta
Pohvaljen: 4327 puta

Re: Lucky six verovatnoca

Postod tanlleoni » Ponedeljak, 18. Maj 2020, 16:27

Hvala puno na detaljnom odgovoru.
Razumeo sam sva cetiri nacina i jasan mi je svaki korak. Samim tim, uvideo sam i druga razmisljanja i nacine resavanja problema.
Slazem ze da je racunanje svih mogucnosti elegantnije preko varijacija.

Ali, jedna stvar mi nije jasna, grafik. Po grafiku, kada bi od [inlmath]48[/inlmath] brojeva izvlacili svih [inlmath]48[/inlmath] jedan po jedan, verovatnoca da u tih [inlmath]48[/inlmath] izvucenih brojeva bude mojih [inlmath]6[/inlmath] je svega nesto malo preko [inlmath]0.12[/inlmath]. Zar ne bi trebalo da verovatoca bude tacno [inlmath]1[/inlmath]?
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Lucky six verovatnoca

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. Maj 2020, 20:00

Ne, ta poslednja, krajnja desna tačka na grafiku (pretpostavljam da na nju misliš) ne predstavlja verovatnoću da u tih [inlmath]48[/inlmath] brojeva bude tvojih [inlmath]6[/inlmath], već predstavlja verovatnoću da će se poslednji od tvojih [inlmath]6[/inlmath] brojeva naći na tom poslednjem, [inlmath]48.[/inlmath] mestu.
Verovatnoća za taj događaj je [inlmath]\frac{6}{48}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{1}{8}[/inlmath], a to je [inlmath]0,125[/inlmath], upravo kako grafik i pokazuje.
Naravno da će verovatnoća da tvojih [inlmath]6[/inlmath] brojeva bude među tih [inlmath]48[/inlmath] brojeva biti jedinica (siguran događaj). Ali, za taj događaj i nije neophodno da neki od tvojih [inlmath]6[/inlmath] brojeva bude na [inlmath]48.[/inlmath] mestu, zar ne?
A verovatnoća o kojoj govoriš, da će svih [inlmath]6[/inlmath] tvojih brojeva biti raspodeljeni do nekog određenog ([inlmath]n[/inlmath]-tog) mesta, dobija se kao zbir [inlmath]P(6)+P(7)+\cdots+P(n-1)+P(n)[/inlmath]. Jer, to su sve verovatnoće događaja da će se poslednji od tvojih [inlmath]6[/inlmath] brojeva naći na šestom, na sedmom itd. mestu.
I, ako uvrstiš [inlmath]n=48[/inlmath], tačno dobijaš da je verovatnoća da će se tvojih [inlmath]6[/inlmath] brojeva naći među tih [inlmath]48[/inlmath], jednaka [inlmath]P(6)+P(7)+\cdots+P(47)+P(48)[/inlmath], a to jeste jedinica.



Kad smo već kod toga, možemo časkom naći i verovatnoću ostvarivanja dobitka (nebitno kolikog), naravno pod pretpostavkom da je izvlačenje „fer“, tj. da je izvršeno potpuno nasumično (ovo je veoma bitan uslov).
Verovatnoća dobitka tada je jednaka [inlmath]P(1)+P(2)+\cdots+P(33)+P(34)[/inlmath] (za šta se softverski dobije da iznosi [inlmath]\approx10,96\%[/inlmath]).
Verovatnoća „status quo“ ishoda (kol'ko uložiš tol'ko dobiješ) iznosi [inlmath]P(35)\approx2,27\%[/inlmath] (pod pretpostavkom da je tačan podatak koji sam video da kvota za [inlmath]35.[/inlmath] mesto iznosi [inlmath]1[/inlmath]).
Verovatnoća izostanka dobitka jednaka je [inlmath]P(36)+P(37)+\cdots+P(47)+P(48)\approx86,77\%[/inlmath].
Naravno, kad se saberu verovatnoće ova tri događaja, dobije se [inlmath]100\%[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8133
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4258 puta
Pohvaljen: 4327 puta

Re: Lucky six verovatnoca

Postod tanlleoni » Utorak, 19. Maj 2020, 17:03

Svaka cast na velikom znanju i detaljnoj analizi.
Jasno sve, hvala jos jednom!
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 25. Maj 2020, 03:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs