Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Sibicarenje i verovatnoca :D

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Sibicarenje i verovatnoca :D

Postod mirkan03 » Subota, 19. Jul 2014, 15:45

Dobar dan,
potrebna mi je pomoc kod jednog problema, a tice se matematike i mislim kombinatorike najvise.

Postavka je sledeca:
- imamo [inlmath]3[/inlmath] kutije sibica i jednu lopticu
- pocetni ulog je [inlmath]1000[/inlmath] necega (zrna, novaca, sibica)
- uvek biramo isti odgovor npr srednju kutiju kao odgovor
- ako promasimo, ulog se utrostruci
- ako se pogodi, krecemo iz pocetka, sa ulogom od [inlmath]1000[/inlmath]

Mene zanima kako se krece verovatnoca pogotka do npr [inlmath]10[/inlmath] pokusaja tj do uloga od nekih 20miliona (toliko je otprilike 10 korak)

Hvala unapred za neku ideju i eventualno resenje
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Sibicarenje i verovatnoca :D

Postod Daniel » Subota, 19. Jul 2014, 20:33

Iz ovog što si napisao nisam baš razumeo pravila igre. Ako promašimo, znači, gubimo ulog i sledeći put moramo da uložimo [inlmath]3000[/inlmath]? Pa ako opet promašimo, sledeći put uložimo [inlmath]9000[/inlmath]? Pa [inlmath]27000[/inlmath] itd? Da li sam ovo dobro zaključio?
Međutim, šta se dešava ako pogodimo? Koliko onda dobijemo tog „nečega“? Koliko dobijemo ako smo uložili [inlmath]1000[/inlmath], koliko dobijemo ako smo uložili [inlmath]3000[/inlmath] itd?

Zasad mogu da ti odgovorim da je, sa stanovišta verovatnoće, potpuno svejedno da li pri svakom odgovoru uvek biramo istu (npr. srednju) kutiju, ili svaki put biramo kutiju po skroz random principu. U svakom slučaju će verovatnoća pogotka pri svakom pokušaju iznositi [inlmath]p=\frac{1}{3}[/inlmath].

Pošto pokušaje ponavljamo više puta, pri čemu je verovatnoća pogotka pri svakom pokušaju nezavisna od broja prethodnih pogodaka, tj. konstantna je, ovde je u pitanju binomna raspodela. To znači da je verovatnoća da od [inlmath]n[/inlmath] pokušaja imamo ukupno [inlmath]k[/inlmath] pogotka data sledećom formulom:
[dispmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}[/dispmath]
a pošto je u ovom konkretnom slučaju [inlmath]p=\frac{1}{3}[/inlmath], to se svodi na
[dispmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(1-\frac{1}{3}\right)^{n-k}[/dispmath][dispmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}[/dispmath][dispmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}\frac{1}{3^k}\frac{2^{n-k}}{3^{n-k}}[/dispmath][dispmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}\frac{2^{n-k}}{3^n}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sibicarenje i verovatnoca :D

Postod mirkan03 » Ponedeljak, 21. Jul 2014, 14:20

ok, nisam sve razjasnio sto se tice pravila. Evo jos par detalja:

- ako promasimo, gubimo trenutni ulog npr na prvom koraku gubimo [inlmath]1000[/inlmath], na drugom jos [inlmath]3000[/inlmath], na trecem jos [inlmath]9000[/inlmath]....ukupno gubimo [inlmath]3^{n-1}\cdot 1000+1000[/inlmath] u [inlmath]n[/inlmath] koraka
- ako pogodimo , dobijamo dupli trenutni ulog npr. na prvom dobijamo [inlmath]2000[/inlmath], na drugom [inlmath]6000[/inlmath]
- cim pogodimo, vracamo se na pocetak tj na najmanji ulog [inlmath]1000[/inlmath], i krecemo ponovo
- sto se tice kutija, ne znam da li je bitno da li se bira uvek ista kutija ili je sve jedno (mozda birajuci uvek istu npr. srednju povecam verovatnocu pogotka). po tvom odgovoru, vidim da je svejedno?!
- pogodak nam donosi sledecu dobit, kad odbijemo predhodne promasene korake i trenutni ulog: [inlmath]\frac{\mbox{ulog}}{2}+500[/inlmath]. to je cist dobitak.

Testirao sam i dobio pogotke posle [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] kruga iz [inlmath]11[/inlmath] pokusaja. posle svakog pogotka krenuo iz pocetka. ukupan cist dobitak je bio: [inlmath]2000+5000+122000=129000[/inlmath]

U principu, bitno mi je da nemam [inlmath]10[/inlmath] promasaja u nizu ([inlmath]10[/inlmath] jer posle toga ulog postaje poprilican,skoro [inlmath]60[/inlmath] miliona a i [inlmath]10[/inlmath] je okrugla cifra :D )

Mislim da mozemo gledati 2 slucaja:
- prvi gde mi biramo kutiju na random
- drugi gde trazimo da kuglica posle mesanja zavrsi na odredjenom mestu koje mi odredimo npr u sredini
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Sibicarenje i verovatnoca :D

Postod Daniel » Ponedeljak, 21. Jul 2014, 20:21

Dobro, siguran sam da je razlog postavljanja ovog pitanja čisto edukativne prirode. :) Ovaj forum, naravno, ni na koji način ne bi odobravao ili podržavao kockanje. :)

mirkan03 je napisao:- ako promasimo, gubimo trenutni ulog npr na prvom koraku gubimo [inlmath]1000[/inlmath], na drugom jos [inlmath]3000[/inlmath], na trecem jos [inlmath]9000[/inlmath]....ukupno gubimo [inlmath]3^{n-1}\cdot1000+1000[/inlmath] u [inlmath]n[/inlmath] koraka

Nešto tu ne valja. Tvoja formula bi dala tačan iznos gubitka za jedan promašaj ([inlmath]1000[/inlmath]) ili za dva uzastopna promašaja ([inlmath]4000[/inlmath]), ali već za tri uzastopna promašaja bi tvoja formula dala iznos gubitka [inlmath]10000[/inlmath], iako je tada iznos gubitka, zapravo, [inlmath]13000[/inlmath].
Iznos gubitka možeš naći kao sumu geometrijskog niza (pošto [inlmath]1000,3000,9000,\ldots[/inlmath] predstavlja geometrijski niz), pri čemu je formula za sumu geometrijskog niza
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
gde je [inlmath]a_1=1000[/inlmath] (prvi član geometrijskog niza), [inlmath]q=3[/inlmath] (odnos dva susedna člana geometrijskog niza), a [inlmath]n[/inlmath] predstavlja broj članova geometrijskog niza čiju sumu tražimo. Znači, formula kojom bismo računali iznos gubitka u zavisnosti od broja uzastopnih promašaja [inlmath]n[/inlmath] bila bi
[dispmath]S_n=1000\cdot\frac{1-3^n}{1-3}[/dispmath][dispmath]S_n=\left(3^n-1\right)\cdot500[/dispmath]
mirkan03 je napisao:- sto se tice kutija, ne znam da li je bitno da li se bira uvek ista kutija ili je sve jedno (mozda birajuci uvek istu npr. srednju povecam verovatnocu pogotka). po tvom odgovoru, vidim da je svejedno?!

Kao što rekoh – potpuno je svejedno da li ćemo uvek birati istu kutiju (npr. srednju), ili ćemo uvek kutiju birati po potpuno slučajnom principu (tj. „naslepo“) – u oba slučaja je verovatnoća pogotka pri svakom pokušaju jednaka [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
Međutim, ako bismo kutiju birali tako što pratimo kuglicu prilikom mešanja kutija pa izaberemo onu kutiju za koju mislimo da se ispod nje nalazi kuglica, tada verovatnoću pogotka ne bi uopšte bilo tako jednostavno odrediti, jer bi ona zavisila od dodatnih faktora (sposobnosti kockara da pravilno isprati putanju kuglice, kao i sposobnosti šibicara da vešto prikrije pravu putanju kuglice dovevši kockara u zabludu da se kuglica nalazi tamo gde se, zapravo, ne nalazi) – tako da ta verovatnoća pogotka ne bi bila [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]. (Praksa pokazuje da je tada verovatnoća pogotka mnogo manja od [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], nikako veća.)

mirkan03 je napisao:- pogodak nam donosi sledecu dobit, kad odbijemo predhodne promasene korake i trenutni ulog: [inlmath]\frac{\text{ulog}}{2}+500[/inlmath]. to je cist dobitak.

:correct:

mirkan03 je napisao:U principu, bitno mi je da nemam [inlmath]10[/inlmath] promasaja u nizu ([inlmath]10[/inlmath] jer posle toga ulog postaje poprilican,skoro [inlmath]60[/inlmath] miliona a i [inlmath]10[/inlmath] je okrugla cifra :D )

Verovatnoću da ćeš imati [inlmath]n[/inlmath] promašaja u nizu možeš naći tako što verovatnoću promašaja u jednom pokušaju digneš na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen. Verovatnoću promašaja u jednom pokušaju dobiješ tako što od verovatnoće sigurnog događaja, koja iznosi [inlmath]1[/inlmath], oduzmeš verovatnoću pogotka u jednom pokušaju – to je, znači, [inlmath]1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/inlmath]. Zatim to digneš, dakle, na [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\left(\frac{2}{3}\right)^n[/dispmath]
Vidimo da verovatnoća uzastopnih [inlmath]n[/inlmath] promašaja eksponencijalno opada s porastom [inlmath]n[/inlmath].
Kako bi našao verovatnoću [inlmath]10[/inlmath] uzastopnih promašaja, uvrstiš [inlmath]n=10[/inlmath] i dobijaš:
[dispmath]\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\approx0,01734[/dispmath]
ili, izraženo u procentima, to bi bilo (kada dobijeni iznos pomnožimo stotkom) [inlmath]\approx1,734\%[/inlmath]

Verovatnoća komplementarnog događaja, tj. da nećeš imati [inlmath]10[/inlmath] promašaja u nizu, iznosi [inlmath]\approx\left(100-1,734\right)\%[/inlmath], tj. [inlmath]\approx98,266\%[/inlmath].

mirkan03 je napisao:Mislim da mozemo gledati 2 slucaja:
- prvi gde mi biramo kutiju na random
- drugi gde trazimo da kuglica posle mesanja zavrsi na odredjenom mestu koje mi odredimo npr u sredini

Kô što nekoliko puta dosad napisah, ta dva slučaja se, zapravo, svode na jedan isti slučaj, budući da je verovatnoća pogotka pri svakom pokušaju ista u oba slučaja i iznosi [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sibicarenje i verovatnoca :D

Postod mirkan03 » Utorak, 22. Jul 2014, 08:09

Prvo - mnogo hvala na detaljnoj analizi
Drugo, jos bitnije - naravno da nije za kockanje i slicno,cista edukacija. Nemiran um i malo dosade na poslu :D

U svakom slucaju, dobio sam odgovore na sva pitanja, cak i detaljnije nego sto sam mislio.
Puno hvala na svemu. :bye:
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Sibicarenje i verovatnoca :D

Postod Daniel » Utorak, 22. Jul 2014, 20:09

Ma nema na čemu. :)
Nego, razmišljao sam još malo o ovom problemu i imam malu dopunu – ako bismo uvek birali istu kutiju, npr srednju, moglo bi se realno očekivati da će šibicar posle nekoliko puta primetiti da uvek biramo istu kutiju, pa će onda tako nameštati da kuglica nikad ne bude pod tom kutijom... :) Zato je ipak bolja taktika birati kutiju skroz naslepo, tj. random, jer će tada verovatnoća svakog od pogodaka zaista biti [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], za razliku od taktike kada biramo uvek istu kutiju, pri čemu bi verovatnoća pogotka prvih nekoliko puta bila [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], a posle, kad šibicar provali našu taktiku, pala na nulu... :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sibicarenje i verovatnoca :D

Postod mirkan03 » Sreda, 23. Jul 2014, 18:28

Odradio sam program koji radi simulaciju i mogu ti reci da se na svakih 120-130 pojavi niz duzi od 12...cak sam imao nizove do 17 uzastopnih promasaja iako je sansa za to 0.10%. To je bio i maksimalan niz u nekih par hiljada simulacija. Sansa za 20 uzastopnih promasaja je oko 0.3% , skoro iskljuciva ali opet realna. Medjutim na tom koraku,ulog je prevelik.
Sistem je neprofitabilan bez mogucnosti da "izdrzis" nekih 19-20 promasaj u nizu :/
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Sibicarenje i verovatnoca :D

Postod Daniel » Sreda, 23. Jul 2014, 22:45

Hajd da proverimo to teoretski... :) Verovatnoća da će se dogoditi niz promašaja duži od [inlmath]12[/inlmath], tj. niz od [inlmath]13[/inlmath] ili više promašaja, jednaka je
[dispmath]P\left(X>12\right)=P\left(X\ge 13\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{13}\approx 0,005138[/dispmath]
Recipročna vrednost te verovatnoće je
[dispmath]\frac{1}{P\left(X>12\right)}=\left(\frac{3}{2}\right)^{13}\approx 194,62[/dispmath]
što bi značilo da se može očekivati da će se među oko [inlmath]195[/inlmath] igara naći jedna koja će imati niz promašaja duži od [inlmath]12[/inlmath], što se baš i ne poklapa s rezultatom tvog kompjuterski simuliranog eksperimenta. :)

Međutim, ako bismo tražili verovatnoću da će se dogoditi niz od [inlmath]12[/inlmath] ili više promašaja (znači, za razliku od prethodnog slučaja, ovde računamo i nizove od [inlmath]12[/inlmath] promašaja), tada je ta verovatnoća jednaka
[dispmath]P\left(X\ge 12\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{12}\approx 0,007707[/dispmath]
Recipročna vrednost te verovatnoće je
[dispmath]\frac{1}{P\left(X\ge 12\right)}=\left(\frac{3}{2}\right)^{12}\approx 129,75[/dispmath]
što bi značilo da se može očekivati da će se među oko [inlmath]130[/inlmath] igara naći jedna koja će imati niz od makar [inlmath]12[/inlmath] promašaja, što je već u skladu s rezultatom koji si dobio, tako da pretpostavljam da je to, zapravo, ono što si tražio. :)

I, da, šansa za bar [inlmath]17[/inlmath] uzastopnih promašaja jeste [inlmath]0,1\%[/inlmath] (što bi značilo da se na svakih [inlmath]1000[/inlmath] igara može očekivati jedna s nizom od [inlmath]17[/inlmath] ili više promašaja), ali šansa za bar [inlmath]20[/inlmath] uzastopnih promašaja nije [inlmath]0,3\%[/inlmath], već [inlmath]0,03\%[/inlmath], mada pretpostavljam da si to samo greškom izostavio jednu nulu pri kucanju. Tih [inlmath]0,03\%[/inlmath] odgovaralo bi očekivanju da se na svakih otprilike [inlmath]3300[/inlmath] igara dogodi jedna s nizom od [inlmath]20[/inlmath] ili više promašaja.

A da li je sistem profitabilan ili ne, to zavisi od više faktora – od toga koliko često kockar namerava da igra tu igru, od toga koliki mu je kapital koji može da uloži, od toga koliko je spreman da rizikuje itd. Ali, u ovom slučaju sve to je ionako svejedno, budući da si pitanje postavio iz čiste radoznalosti, a ne iz stvarne namere za kockanjem. ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 43 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 10:14 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs