Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Osnovne diskretne raspodele verovatnoća

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Osnovne diskretne raspodele verovatnoća

Postod desideri » Četvrtak, 19. Mart 2015, 02:17

[inlmath][/inlmath]
Ovde se razmatraju osnovne postavke u vezi sa tipičnim zakonima raspodela diskretnih slučajnih promenljivih: binomne, Poasonove, geometrijske, Paskalove, negativne binomne i hipergeometrijske.
[inlmath][/inlmath]
Potrebno je najpre upoznati se sa nekim osnovnim pojmovima i uobičajenim terminima koji će biti korišćeni kod razmatranja ove teme.
Najpre, pod terminom "diskretna raspodela verovatnoća" podrazumeva se zakon ili pravilo raspodele (rasporeda, distribucije) verovatnoća slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] koja uzima samo [inlmath]diskretne[/inlmath] vrednosti. To zapravo znači da može uzeti konačan broj vrednosti ili prebrojivo mnogo vrednosti (da se mogu prebrojati skupom prirodnih brojeva). Tipičan primer je kod binomne raspodele gde slučajna promenljiva uzima vrednosti [inlmath]0,1,2,\ldots,n[/inlmath].
Termini "uspeh" i "neuspeh" odnose se na realizaciju slučajnog eksperimenta sa tačno dva ishoda, čije se verovatnoće dopunjavaju do jedinice: [inlmath]p+q=1[/inlmath] pri čemu je sa [inlmath]p[/inlmath] označena verovatnoća uspeha i sa [inlmath]q[/inlmath] verovatnoća neuspeha. Primer za ovo je slučajni eksperiment bacanja novčića.

Geneza eksperimenta podrazumeva opisivanje uslova pod kojima je nastao slučajni eksperiment koji vodi do opisivanja pravila rapoređivanja verovatnoća, to jest do samog zakona raspodele diskretne slučajne promenljive.

Dalje, velikim slovom [inlmath]X[/inlmath] biće označavana slučajna promenljiva a malim slovom [inlmath]x[/inlmath] njena realizacija, to jest vrednost koju slučajna promenljiva može uzeti sa određenom verovatnoćom. Na primer, ako je [inlmath]X[/inlmath] broj tačaka na gornjoj površini bačene kockice za igru, zapis: [inlmath]P(X=4)=\frac{1}{6}[/inlmath] čita se: Verovatnoća da slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] koja predstavlja broj tačaka pri bacanju kockice uzme vrednost [inlmath]4[/inlmath] iznosi [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath].
Za sve što eventualno bude nejasno u vezi s korišćenim kombinatornim alatima potrebno je pogledati tutorijal na temu kombinatorike.

1. Binomna raspodela

Geneza binomne raspodele podrazumeva da slučajni eksperiment ima [inlmath]n[/inlmath] nezavisnih ponavljanja. U svakom od ovih ponavljanja određeni događaj [inlmath]A[/inlmath] može da se realizuje (uspeh) ili ne (neuspeh). Verovatnoća uspeha označava se sa [inlmath]p[/inlmath] a verovatnoća neuspeha sa [inlmath]q[/inlmath] pri čemu je [inlmath]p+q=1[/inlmath]. Pod zadatim uslovima slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] predstavlja broj uspeha u tih [inlmath]n[/inlmath] nezavisnih ponavljanja eksperimenta. Zakon raspodele ove slučajne promenljive dat je sa:
[dispmath]P(X=x)={n\choose x}p^xq^{n-x}\quad x=0,1,\ldots,n\qquad p+q=1[/dispmath]
Primer: verovatnoća da se u [inlmath]5[/inlmath] bacanja kockice dobiju dve šestice (i samim tim [inlmath]3[/inlmath] "ne-šestice") iznosi:
[dispmath]P(X=2)={5\choose2}p^2q^{5-2}={5\choose2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{5-2}=\frac{625}{3888}[/dispmath]
2. Poasonova raspodela

Poasonova (Simeon Denis Poisson) teorema zapravo predstavlja genezu ove raspodele. Ova teorema dokazuje da Poasonova raspodela nastaje kao granični slučaj binomne raspodele kada broj ponavljanja eksperimenta neograničeno raste ([inlmath]n\rightarrow\infty[/inlmath]), verovatnoća uspeha teži nuli ([inlmath]p\rightarrow0[/inlmath]), dok njihov proizvod ostaje konstantan ([inlmath]np=\lambda=\mbox{const}[/inlmath].)
Njen zakon raspodele je:
[dispmath]P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\quad x=0,1,2,3,\ldots[/dispmath]
Ova raspodela ima veliku primenu kod slučajnih procesa (na primer, Poasonovi potoci događaja su diskretni slučajni procesi sa neprekidnim vremenom) a takođe i u matematičkoj statistici. Zbog uslova da verovatnoća uspeha teži nuli svojevremeno je ovaj zakon nazvan "raspodelom retkih događaja". Potrebno je napomenuti da binomna raspodela teži i normalnoj (Gausovoj) raspodeli, ali samo uz uslov da [inlmath]n\to\infty[/inlmath] (teorema Moavr-Laplasa (Moivre-Laplace)). To tvrđenje svakako izlazi iz okvira ove teme, jer je normalna raspodela neprekidna (kontinualna) a ne diskretna. Ipak, neophodno je naglasiti da aproksimacija binomne raspodele normalnom nije dovoljno dobra za male verovatnoće uspeha (ili neuspeha, zavisi kako se posmatra). Dakle, za veliko [inlmath]n[/inlmath] i verovatnoće uspeha između [inlmath]0.1[/inlmath] i [inlmath]0.9[/inlmath] veća tačnost se dobija prelaskom sa binomne na normalnu raspodelu, dok se za veliko [inlmath]n[/inlmath] i verovatnoće uspeha manje od [inlmath]0.1[/inlmath] ili veće od [inlmath]0.9[/inlmath] bolja aproksimacija binomne raspodele postiže Poasonovom. Ovo predstavlja jedan praktičan, empirijski (iskustveni) kriterijum. Inače, potreba za aproksimiranjem binomne raspodele nekom drugom pojavljuje se kada se zbog jako velikog [inlmath]n[/inlmath] teško računaju binomne verovatnoće.
Primer: Ukoliko je broj ponavljanja eksperimenta [inlmath]n=10000[/inlmath] a verovatnoća uspeha [inlmath]p=0.01[/inlmath] izračunati verovatnoću da se realizuje [inlmath]50[/inlmath] uspeha najpre preko binomne raspodele (tačan rezultat) a zatim i aproksimativno, preko Poasonove raspodele.
[dispmath]\mbox{Binomna:}\quad P(X=50)={10000\choose50}0.01^{50}0.99^{10000-50}=0.0000000108\\
\mbox{Poasonova:}\quad P(X=50)=\frac{\lambda^{50}}{50!}e^{-\lambda}=\frac{(10000\cdot0.01)^{50}}{50!}e^{-(10000\cdot0.01)}=0.0000000122[/dispmath]
U gornjim proračunima korišćen je MS Excel.

3. Geometrijska raspodela

Kod geneze eksperimenta koji vodi geometrijskoj raspodeli ponovo imamo nezavisna ponavljanja, uspeh ili neuspeh u svakom od ponavljanja pri čemu se eksperiment ponavlja do prvog uspeha, a slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] predstavlja broj ponavljanja. Zakon raspodele je:
[dispmath]P(X=x)=pq^{x-1}\quad x=1,2,3,\ldots\qquad p+q=1[/dispmath]
Razlika između ovog i binomnog eksperimenta je u tome što ovde nije unapred zadat broj ponavljanja. Naime, ovde slučajna promenljiva upravo i predstavlja broj ponavljanja, dok je kod binomne raspodele slučajna promenljiva broj uspeha u zadatom broju ponavljanja. Dalje, kod geometrijske raspodele postoji samo jedan uspeh (kada se on desi eksperiment se prekida) i samim tim postoji [inlmath]x-1[/inlmath] neuspeh.
Primer: Kolika je verovatnoća da se kod uzastopnih i nezavisnih bacanja kocke šestica dobije tek u četvrtom pokušaju?
[dispmath]P(X=4)=pq^{4-1}=\frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{1296}[/dispmath]
4. Paskalova raspodela

Ova raspodela verovatnoća predstavlja uopštenje geometrijske raspodele, što je sasvim očigledno iz njene geneze: Eksperiment se ponavlja dok se događaj ne realizuje [inlmath]k[/inlmath] puta, odnosno ponavlja se do [inlmath]k[/inlmath]-tog uspeha. Pri tome je [inlmath]k=1,2,3,\ldots[/inlmath]
Ako se eksperiment ponavljao [inlmath]x[/inlmath] puta, onda je bilo [inlmath]k-1[/inlmath] uspeha u prvih [inlmath]x-1[/inlmath] ponavljanja eksperimenta, uz [inlmath]k[/inlmath]-ti uspeh u [inlmath]x[/inlmath]-tom ponavljanju. Takvo razmišljanje vodi do zakona raspodele:
[dispmath]P(X=x)={x-1\choose k-1}p^kq^{x-k}\quad x=k,\;k+1,\;k+2,\;\ldots\qquad p+q=1[/dispmath]
Ovde je [inlmath]k[/inlmath] zadat parametar raspodele i kao što je već naglašeno uzima vrednosti [inlmath]1,2,3,\ldots[/inlmath] Za [inlmath]k=1[/inlmath] dobija se geometrijska raspodela.
Primer: Koliko iznosi verovatnoća da se pri uzastopnim i nezavisnim bacanjima jedne kockice druga šestica dobije u petom bacanju?
[dispmath]P(X=5)={5-1\choose2-1}p^2q^{5-2}={4\choose1}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{1944}[/dispmath]
Interesantan primer za ovu raspodelu je podela nagrade kod prekida šahovskog meča.

5. Negativna binomna raspodela

Najpre je potrebno naglasiti da ovo "negativna" nema nikakve veze s nekakvim negativnim brojevima. Nema takvih brojeva u verovatnoći.
Geneza eksperimenta kaže da negativna binomna raspodela predstavlja broj neuspeha do [inlmath]k[/inlmath]-tog uspeha. Zakon raspodele glasi:
[dispmath]P(Y=y)={-k\choose y}p^k(-q)^y\quad y=0,1,2,\ldots\qquad p+q=1[/dispmath]
Naziv "negativna binomna raspodela" potiče od činjenice da je gornji izraz za zakon raspodele zapravo opšti član razvoja izraza [inlmath]p^k(1-q)^{-k}[/inlmath] po stepenima [inlmath]q[/inlmath] uz korišćenje binomne formule. Dalje, slučajna promenljiva je označena sa [inlmath]Y[/inlmath] zbog sledeće teoreme:

[inlmath]T_1[/inlmath]: Negativna binomna raspodela slučajne promenljive [inlmath]Y[/inlmath] dobija se iz Paskalove raspodele slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] uz smenu [inlmath]Y=X-k[/inlmath]

Dokaz: Kreće se od Paskalove raspodele vodeći računa da je [inlmath]x=y+k[/inlmath] (što važi za velika slova, važi i za mala) tako da se dobija:
[dispmath]P(X=x)=P(X=y+k)={y+k-1\choose k-1}p^kq^y={y+k-1\choose y+k-1-( k-1)}p^kq^y={y+k-1\choose y}p^kq^y[/dispmath][dispmath]P(X=x)=\frac{(y+k-1)(y+k-2)\cdots(k+1)k}{y!}p^kq^y=(-1)^y\frac{(-k-y+1)(-k-y+2)\cdots(-k-1)(-k)}{y!}p^kq^y[/dispmath][dispmath]P(X=x)=(-1)^y\frac{(-k)(-k-1)\cdots(-k-y+2)(-k-y+1)}{y!}p^kq^y=(-1)^y{-k\choose y}p^kq^y={-k\choose y}p^k(-q)^y[/dispmath]
Što je trebalo dokazati. Radi ilustracije primene ove teoreme, korisno je uraditi isti primer kao kod Paskalove raspodele, ali na drugi način, uz korišćenje negativne binomne raspodele.
Primer: Koliko iznosi verovatnoća da se pri uzastopnim i nezavisnim bacanjima jedne kockice druga šestica dobije u petom bacanju?
[dispmath]P(Y=3)={-2\choose3}p^2(-q)^3=\frac{(-2)(-3)(-4)}{3!}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{-5}{6}\right)^3=\frac{125}{1944}[/dispmath]
Ukoliko postoji potreba za pojašnjavanjem navedenih operacija sa binomnim koeficijentima, može se pored pomenutog tutorijala na temu kombinatorike pogledati i još nešto u vezi s binomnim koeficijentima.

6. Hipergeometrijska raspodela

Ova raspodela verovatnoća ima izuzetno veliku ulogu u matematičkoj statistici, posebno kod formiranja uzorka čija se osnovna populacija sastoji od dve vrste elemenata. Pogodno je kod geneze ovog eksperimenta poći od modela urne sa dve vrste kuglica: Ako se iz urne koja sadrži [inlmath]M[/inlmath] belih i [inlmath]N-M[/inlmath] crnih kuglica izvuče bez vraćanja [inlmath]n[/inlmath] kuglica onda slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] predstavlja broj belih kuglica u tih [inlmath]n[/inlmath] izvučenih. Očigledno je da se ovde radi o kombinacijama bez ponavljanja tako da je zakon raspodele slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath]:
[dispmath]P(X=x)=\frac{{M\choose x}{N-M\choose n-x}}{N\choose n}\quad x=0,1,2,\ldots,\min(M,n)[/dispmath]
Primer: Kolika je verovatnoća da se iz urne koja sadrži [inlmath]8[/inlmath] belih i [inlmath]5[/inlmath] crnih kuglica (ukupno [inlmath]13[/inlmath]) izvuče bez vraćanja [inlmath]6[/inlmath] belih i [inlmath]4[/inlmath] crne kuglice (ukupno [inlmath]10[/inlmath])?
[dispmath]P(X=6)=\frac{{8\choose6}{13-8\choose10-6}}{13\choose10}=\frac{{8\choose2}{5\choose1}}{13\choose3}=\frac{70}{143}[/dispmath]
U vezi s ovakvim slučajnim eksperimentom interesantno je da se u slučaju izvlačenja kuglica sa vraćanjem dobija binomna raspodela jer su verovatnoće izvlačenja bele kuglice [inlmath]p=\frac{M}{N}[/inlmath] i crne kuglice [inlmath]q=\frac{N-M}{N}[/inlmath] iste u svakom ponavljanju.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1516
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1087 puta
Pohvaljen: 836 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 25. Septembar 2018, 08:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs