Prvi način
Postavljaju se hipoteze koje se međusobno isključuju i čine potpun sistem događaja:
[inlmath]H_1[/inlmath]: Iz prve urne izvučene tri bele i iz druge urne izvučene dve bele
[dispmath]P(H_1)=\frac{5\choose3}{9\choose3}\cdot\frac{6\choose2}{14\choose2}=\frac{150}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_2[/inlmath]: Iz prve urne izvučene tri bele i iz druge urne izvučene jedna bela i jedna crna
[dispmath]P(H_2)=\frac{5\choose3}{9\choose3}\cdot\frac{{6\choose1}{8\choose1}}{14\choose2}=\frac{480}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_3[/inlmath]: Iz prve urne izvučene tri bele i iz druge urne izvučene dve crne
[dispmath]P(H_3)=\frac{5\choose3}{9\choose3}\cdot\frac{8\choose2}{14\choose2}=\frac{280}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_4[/inlmath]: Iz prve urne izvučene dve bele i jedna crna i iz druge urne izvučene dve bele
[dispmath]P(H_4)=\frac{{5\choose2}{4\choose1}}{9\choose3}\cdot\frac{6\choose2}{14\choose2}=\frac{600}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_5[/inlmath]: Iz prve urne izvučene dve bele i jedna crna i iz druge urne izvučene jedna bela i jedna crna
[dispmath]P(H_5)=\frac{{5\choose2}{4\choose1}}{9\choose3}\cdot\frac{{6\choose1}{8\choose1}}{14\choose2}=\frac{1920}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_6[/inlmath]: Iz prve urne izvučene dve bele i jedna crna i iz druge urne izvučene dve crne
[dispmath]P(H_6)=\frac{{5\choose2}{4\choose1}}{9\choose3}\cdot\frac{8\choose2}{14\choose2}=\frac{1120}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_7[/inlmath]: Iz prve urne izvučene jedna bela i dve crne i iz druge urne izvučene dve bele
[dispmath]P(H_7)=\frac{{5\choose1}{4\choose2}}{9\choose3}\cdot\frac{6\choose2}{14\choose2}=\frac{450}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_8[/inlmath]: Iz prve urne izvučene jedna bela i dve crne i iz druge urne izvučene jedna bela i jedna crna
[dispmath]P(H_8)=\frac{{5\choose1}{4\choose2}}{9\choose3}\cdot\frac{{6\choose1}{8\choose1}}{14\choose2}=\frac{1440}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_9[/inlmath]: Iz prve urne izvučene jedna bela i dve crne i iz druge urne izvučene dve crne
[dispmath]P(H_9)=\frac{{5\choose1}{4\choose2}}{9\choose3}\cdot\frac{8\choose2}{14\choose2}=\frac{840}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_{10}[/inlmath]: Iz prve urne izvučene tri crne i iz druge urne izvučene dve bele
[dispmath]P(H_{10})=\frac{4\choose3}{9\choose3}\cdot\frac{6\choose2}{14\choose2}=\frac{60}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_{11}[/inlmath]: Iz prve urne izvučene tri crne i iz druge urne izvučene jedna bela i jedna crna
[dispmath]P(H_{11})=\frac{4\choose3}{9\choose3}\cdot\frac{{6\choose1}{8\choose1}}{14\choose2}=\frac{192}{7644}[/dispmath]
[inlmath]H_{12}[/inlmath]: Iz prve urne izvučene tri crne i iz druge urne izvučene dve crne
[dispmath]P(H_{12})=\frac{4\choose3}{9\choose3}\cdot\frac{8\choose2}{14\choose2}=\frac{112}{7644}[/dispmath]
Suma verovatnoća ovih hipoteza (apriori, preiskustvenih) uvek je jednaka jedinici, naravno ukoliko su dobro postavljene i ako je račun tačan. Ovde je to ispunjeno, tako da se može postaviti i događaj čija se verovatnoća traži:
[inlmath]A[/inlmath]: Izvučena je bela kuglica iz treće urne
Sada računamo uslovne verovatnoće:
[dispmath]P(A/H_1)=1\quad P(A/H_2)=\frac{4}{5}\quad P(A/H_3)=\frac{3}{5}\quad P(A/H_4)=\frac{4}{5}\quad P(A/H_5)=\frac{3}{5}\quad P(A/H_6)=\frac{2}{5}[/dispmath][dispmath]P(A/H_7)=\frac{3}{5}\quad P(A/H_8)=\frac{2}{5}\quad P(A/H_9)=\frac{1}{5}\quad P(A/H_{10})=\frac{2}{5}\quad P(A/H_{11})=\frac{1}{5}\quad P(A/H_{12})=0[/dispmath]
Verovatnoća događaja [inlmath]A[/inlmath] određuje se iz formule totalne (potpune) verovatnoće:
[dispmath]\sum\limits_{k=1}^{12}P(H_k)P(A/H_k)=\frac{53}{105}[/dispmath]
Ovakav način rada zadatka je izrazito nepraktičan u slučaju velikog broja kuglica u slučajnom eksperimentu. Na primer, da se u prvoj urni nalazilo [inlmath]100[/inlmath] belih i [inlmath]200[/inlmath] crnih, a u drugoj [inlmath]300[/inlmath] belih i [inlmath]150[/inlmath] crnih, te da se izvlačilo i stavljalo u treću urnu po [inlmath]99[/inlmath] kuglica iz svake od prve dve urne, ovaj način bi zahtevao postavljanje i proračun [inlmath]10000[/inlmath] hipoteza.
Drugi način
Postavljaju se hipoteze o poreklu kuglice izvučene iz treće urne:
[inlmath]H_1[/inlmath]: Izvučena kuglica potiče iz prve urne
[dispmath]P(H_1)=\frac{3}{5}[/dispmath]
[inlmath]H_2[/inlmath]: Izvučena kuglica potiče iz druge urne
[dispmath]P(H_2)=\frac{2}{5}[/dispmath]
[inlmath]A[/inlmath]: Izvučena bela kuglica
[dispmath]P(A/H_1)=\frac{5}{9}\quad P(A/H_2)=\frac{6}{14}[/dispmath][dispmath]\sum\limits_{k=1}^2P(H_k)P(A/H_k)=\frac{53}{105}[/dispmath]
Evo i jednog zadatka za vežbu:
Prva urna sadrži [inlmath]10[/inlmath] belih i [inlmath]20[/inlmath] crnih kuglica, dok je u drugoj [inlmath]30[/inlmath] belih i [inlmath]10[/inlmath] crnih kuglica.
a) Po [inlmath]10[/inlmath] kuglica nepoznate boje iz svake od urni prebace se u treću urnu koja je do tada bila prazna. Kolika je verovatnoća da se sada iz ove treće urne izvuku dve bele kuglice?
b) Iz prve urne u drugu prebaci se [inlmath]10[/inlmath] kuglica nepoznate boje. Kolika je verovatnoća da se sada iz druge urne izvuče bela kuglica?