desideri je napisao:a gustina raspodele je (po mojoj pretpostavci) "jedan kroz površina kruga"
Zbog čega „po tvojoj pretpostavci“? Nije to samo pretpostavka, lako se dokazuje da to jeste tako. Pošto je verovatnoća da se data tačka nađe unutar kruga jednaka jedinici,
[dispmath]P=\int\limits_{\Large\circ}f\left(A\right)\mathrm dA=1[/dispmath]
a rečeno je da je tačka ravnomerno raspoređena unutar kruga, što znači da je u pitanju uniformna raspodela, tj. [inlmath]f\left(A\right)=c=\mathrm{const}[/inlmath],
[dispmath]\int\limits_{\Large\circ}c\cdot\mathrm dA=1\quad\Rightarrow\quad c\int\limits_{\Large\circ}\mathrm dA=1\quad\Rightarrow\quad c\cdot\pi a^2=1\quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{\pi a^2}[/dispmath]
Ja se, zasad, neću baviti uopštavanjem i uvećavanjem broja dimenzija, već ću, naprotiv, krenuti u suprotnom smeru.
Posmatraću jednodimenzionalni sistem, [inlmath]\underline{n=1}[/inlmath].
Iliti, pravu, čiji koordinatni sistem predstavljamo kao brojevnu pravu.
Ovaj zadatak, sveden na prostor [inlmath]R^1[/inlmath] (tj. na pravu) glasio bi:
Slučajna tačka [inlmath]X[/inlmath] ravnomerno je raspoređena unutar duži dužine [inlmath]2a[/inlmath]. Naći matematičko očekivanje rastojanja tačke od središta duži.Postavimo središte duži u tačku [inlmath]0[/inlmath] brojevne prave. Posmatrana duž tada obuhvata segment između tačaka [inlmath]-a[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath] na brojevnoj pravoj.
Gustina raspodele slučajne promenljive [inlmath]K[/inlmath] je [inlmath]\frac{1}{2a}[/inlmath] (recipročna vrednost dužine duži). Matematičko očekivanje rastojanja tačke od središta duži tada je:
[dispmath]E\left(K\right)=\int\limits_l\frac{1}{2a}\left|x\right|\mathrm dx=\frac{1}{2a}\int\limits_{-a}^a\left|x\right|\mathrm dx=-\frac{1}{2a}\int\limits_{-a}^0x\mathrm dx+\frac{1}{2a}\int\limits_0^ax\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=-\left.\frac{1}{2a}\cdot\frac{x^2}{2}\right|_{-a}^0+\left.\frac{1}{2a}\cdot\frac{x^2}{2}\right|_0^a=-\frac{1}{2a}\left(-\frac{\left(-a\right)^2}{2}\right)+\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2}{2}=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a}{2}[/dispmath]
što je rezultat koji je u saglasnosti s hipotezom [inlmath]E\left(K\right)=\frac{n}{n+1}a[/inlmath] za [inlmath]n=1[/inlmath].
Naravno, jasno je da ovime hipoteza nije dokazana, ali dobijeni rezultat svakako ide u prilog istoj.
[inlmath]\underline{n=0}[/inlmath]
Iliti, prostor bez dimenzija.
U takvom prostoru [inlmath]R^0[/inlmath], koji predstavlja samo jednu tačku, prema posmatranoj hipotezi, važilo bi da je [inlmath]E\left(K\right)=0[/inlmath] – što je i logično, jer slučajno izabrana tačka u takvom „prostoru“ koji se sastoji samo od tačke – mogla bi biti jedino ta tačka, prema tome, rastojanje slučajno izabrane tačke od te tačke koja predstavlja prostor [inlmath]R^0[/inlmath] uvek bi bilo nula, pa je i matematičko očekivanje takvog rastojanja – takođe nula.
Dakle, još jedan rezultat u prilog našoj hipotezi.
[inlmath]\underline{n=-1}[/inlmath]
Ne, ovo je već previše za mene...
(A i naša hipoteza bi za taj slučaj dala deljenje nulom. )