od Daniel » Sreda, 02. Septembar 2015, 20:03
Budući da, kako Desideri reče, nije detaljno definisan način slučajnog izbora tačaka, moguće je problem postaviti i na sledeće načine:
– Izabereš teme [inlmath]A[/inlmath] jednakostraničnog trougla i povučeš tangentu na kružnicu kroz to teme. Dužinu tetive iz tačke [inlmath]A[/inlmath] posmatraš u funkciji ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] koji ta tetiva zaklapa s tangentom. Za [inlmath]0<\alpha<60^\circ[/inlmath], kao i za [inlmath]120^\circ<\alpha<180^\circ[/inlmath] tetiva je manja od stranice jednakostraničnog trougla, dok je za [inlmath]60^\circ<\alpha<120^\circ[/inlmath] veća od stranice jednakostraničnog trougla. Odatle sledi da je tražena verovatnoća jednaka [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
– Izabereš proizvoljnu tačku unutar kruga, i kroz nju povučeš tetivu čije je središte ta tačka. Dobijena tetiva će biti veća od stranice jednakostraničnog trougla ukoliko se izabrana tačka nalazi izvan kružnice upisane u jednakostraničan trougao, u suprotnom biće veća. Tražena verovatnoća je jednaka odnosu površina upisane kružnice u jednakostranični trougao i kružnice opisane oko njega, a to je [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath].
– Isto kao u prethodnom načinu, izabereš proizvoljnu tačku unutar kruga, neka je to tačka [inlmath]M[/inlmath]. Povučeš poluprečnik [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] takav da sadrži tačku [inlmath]M[/inlmath]. Jednakostranični trougao upisan u kružnicu postaviš tako da mu jedna stranica seče poluprečnik [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] pod pravim uglom. Presek te stranice jednakostraničnog trougla i poluprečnika [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] obeleži sa [inlmath]P[/inlmath]. Ako se tačka [inlmath]M[/inlmath] nalazi unutar duži [inlmath]\overline{OP}[/inlmath], tada je tetiva čije je središte tačka [inlmath]M[/inlmath] veća od stranice jednakostraničnog trougla, u suprotnom je manja. Kako je duž [inlmath]\overline{OP}[/inlmath] jednaka polovini poluprečnika [inlmath]\overline{ON}[/inlmath], zaključujemo da je tražena verovatnoća jednaka [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain