desideri je napisao:Nakon beskonačno dugog vremena verovatnoće nalaženja po stanjima nalaze se iz matrične jednačine:
[dispmath]t\cdot P=t[/dispmath]
Ako sam dobro skontao sve ovo, do citirane jednačine se dolazi na osnovu rekurentne veze
[dispmath]P\left(n\right)=P\left(n-1\right)\cdot P[/dispmath]
pa kada „limesujemo“ obe strane,
[dispmath]\lim_{n\to\infty}P\left(n\right)=\lim_{n\to\infty}\bigl(P\left(n-1\right)\cdot P\bigr)[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}P\left(n\right)=\left(\lim_{n\to\infty}P\left(n-1\right)\right)\cdot P[/dispmath]
ako [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}P\left(n\right)[/inlmath] označimo sa [inlmath]t[/inlmath], tada će važiti i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}P\left(n-1\right)=t[/inlmath]:
[dispmath]t=t\cdot P[/dispmath]
što je, naravno, ekvivalentno citiranoj jednačini [inlmath]t\cdot P=t[/inlmath]. Za ovaj primer s Mirkom, Acom i Cecom dobiju se vrednosti
[dispmath]t=\begin{bmatrix}
x & y & z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{5} & \displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{2}{5}
\end{bmatrix}[/dispmath]
što znači verovatnoću od [inlmath]\displaystyle\frac{1}{5}[/inlmath] da će posle beskonačno dugog vremena lopta biti kod Ace, verovatnoću od [inlmath]\displaystyle\frac{2}{5}[/inlmath] da će posle beskonačno dugog vremena lopta biti kod Mirka i verovatnoću od [inlmath]\displaystyle\frac{2}{5}[/inlmath] da će posle beskonačno dugog vremena lopta biti kod Cece.
Što možemo i proveriti:
[dispmath]t\cdot P=\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{5} & \displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{2}{5}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2 } & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{\cancel2}{5}\cdot\frac{1}{\cancel2} & \displaystyle\frac{1}{5}\cdot1+\frac{\cancel2}{5}\cdot\frac{1}{\cancel2} & \displaystyle\frac{2}{5}\cdot1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{5} & \displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{2}{5}
\end{bmatrix}=t[/dispmath]