Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Verovatnoća nalaženja aviona

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Verovatnoća nalaženja aviona

Postod DusanStamenkovic » Ponedeljak, 09. Maj 2016, 18:42

Pozdrav ljudi, nov sam na forumu.
Ovako glasi zadatak sa kolokvijuma pa me zanima na koji nacin biste vi ovo resili: Avion se srusio u jednom od dva razlicita rejona [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Na osnovu podataka koje su prikupili radari, tri puta verovatnije je da se avion srusio u rejonu [inlmath]A[/inlmath] nego u rejonu [inlmath]B[/inlmath]. Spasilacka sluzba salje [inlmath]10[/inlmath] helikoptera u potragu za avionom. Koliko helikoptera treba poslati u rejon [inlmath]A[/inlmath], a koliko u rejonu [inlmath]B[/inlmath] da bi verovatnoca nalazenja aviona bila maksimalna? Svaki helikopter pretrazuje samo jedan rejon sa verovatnocom pronalaska aviona [inlmath]p=0.4[/inlmath] ako je avion u tom rejonu. Helikopteri nezavisno jedan od drugog pretrazuju rejon, a rejoni nemaju zajednickih teritorija.

Ja sam radio ovako (nisam siguran da je tacno):

Neka su dati dogadjaji:
[inlmath]A[/inlmath] - "avion se srusio u rejonu [inlmath]A[/inlmath]" [inlmath]P(A)=\frac{3}{4}[/inlmath]
[inlmath]B[/inlmath] - "avion se srusio u rejonu [inlmath]B[/inlmath]" [inlmath]P(B)=\frac{1}{4}[/inlmath]
[inlmath]H[/inlmath] - "helikopter je pronasao avion" [inlmath]P(H)=\frac{2}{5}[/inlmath]
[inlmath]H_k[/inlmath] - "salje se [inlmath]k[/inlmath] aviona u rejon [inlmath]A[/inlmath]" ; [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath]

Kako su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] cine potpun sistem dogadjaja sledi da je:

[inlmath]P(H_0)=[P(H\mid B)\cdot P(B)]^{10}[/inlmath]
[inlmath]P(H_i)=[P(H\mid A)\cdot P(A)]^i+[P(H\mid B)\cdot P(B)]^{10-i}[/inlmath], [inlmath]i[/inlmath] ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath]
[inlmath]P(H_{10})=[P(H\mid A)\cdot P(A)]^{10}[/inlmath]

Na kraju se nadje maksimum od ovih [inlmath]11[/inlmath] jednacina. Hvala unapred.
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 10. Maj 2016, 15:54, izmenjena samo jedanput
Razlog: Promena naziva teme i doterivanje Latexa
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Verovatnoća nalaženja aviona

Postod Daniel » Utorak, 10. Maj 2016, 16:26

Pozdrav, novi, dobro došao. :)
Kao što vidiš, malo sam ti doterao Latex, mada se sasvim dobro snalaziš s njim za početak.

Hajde da raščistimo prvo oko ovih oznaka:
DusanStamenkovic je napisao:[inlmath]H[/inlmath] - "helikopter je pronasao avion" [inlmath]P(H)=\frac{2}{5}[/inlmath]

[inlmath]P\left(H\right)=\frac{2}{5}[/inlmath] – to je verovatnoća da je helikopter pronašao avion ako je avion srušen u rejonu tog helikoptera – ovo podvučeno je vrlo bitno, jer to označava da je u pitanju uslovna verovatnoća.

DusanStamenkovic je napisao:[inlmath]H_k[/inlmath] - "salje se [inlmath]k[/inlmath] aviona u rejon [inlmath]A[/inlmath]" ; [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath]

Sigurno si mislio [inlmath]k[/inlmath] helikoptera, a ne [inlmath]k[/inlmath] aviona. OK, to je jasno.
Međutim, ako si sa [inlmath]H_k[/inlmath] označio događaj da je u rejon [inlmath]A[/inlmath] poslato [inlmath]k[/inlmath] helikoptera, tada nema smisla govoriti o verovatnoći [inlmath]P\left(H_k\right)[/inlmath], jer bi to bila verovatnoća da u rejon [inlmath]A[/inlmath] šaljemo [inlmath]k[/inlmath] helikoptera.
Da li si možda sa [inlmath]H_k[/inlmath] hteo da obeležiš događaj da je avion pronađen ako se u rejon [inlmath]A[/inlmath] pošalje [inlmath]k[/inlmath] helikoptera?

Molio bih za potvrdu ovoga, pa da nastavimo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Verovatnoća nalaženja aviona

Postod DusanStamenkovic » Utorak, 10. Maj 2016, 17:05

Da, upravo na to sam i mislio, par gresaka u tesktu, shvatih sad kada sam jos jednom procitao :facepalm: :D
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Verovatnoća nalaženja aviona

Postod Daniel » Utorak, 10. Maj 2016, 19:08

Ovi izrazi za [inlmath]P\left(H_k\right)[/inlmath] ti ne valjaju. [inlmath]P\left(H_k\right)[/inlmath] je, dakle, verovatnoća da će avion biti nađen ako je poslato [inlmath]k[/inlmath] helikoptera u rejon [inlmath]A[/inlmath]. Može se i intuicijom videti da rešenja nisu dobra. Npr. dobio si da je [inlmath]P\left(H_{10}\right)=\left[P\left(H\mid A\right)\cdot P\left(A\right)\right]^{10}[/inlmath], što znači:
[dispmath]P\left(H_{10}\right)=\left[P\left(H\mid A\right)\cdot P\left(A\right)\right]^{10}\le\left[P\left(A\right)\right]^{10}=\left(\frac{3}{4}\right)^{10}\approx0,0563[/dispmath] Prilično mala (pesimistički mala) verovatnoća :) budući da smo ipak poslali čak [inlmath]10[/inlmath] helikoptera u rejon u kojem se avion nalazi s verovatnoćom od čak [inlmath]75\%[/inlmath]. :)

Verovatnoću događaja [inlmath]H_k[/inlmath] računamo preko formule potpune verovatnoće,
[dispmath]P\left(H_k\right)=P\left(A\right)P\left(H_k\mid A\right)+P\left(B\right)P\left(H_k\mid B\right)[/dispmath] E sada, verovatnoću [inlmath]P\left(H_k\mid A\right)[/inlmath] (tj. verovatnoću da će avion biti pronađen kada se nalazi u rejonu [inlmath]A[/inlmath], a u rejon [inlmath]A[/inlmath] je poslato [inlmath]k[/inlmath] helikoptera) dobijamo kad od jedinice oduzmemo verovatnoću komplementarnog događaja – da nijedan od [inlmath]k[/inlmath] helikoptera u rejonu [inlmath]A[/inlmath] neće naći avion koji se nalazi u rejonu [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]P\left(H_k\mid A\right)=1-P\left(\overline{H_k}\mid A\right)[/dispmath] Slično i za verovatnoću [inlmath]P\left(H_k\mid B\right)[/inlmath].

Bi li umeo da nađeš verovatnoće [inlmath]P\left(\overline{H_k}\mid A\right)[/inlmath] i [inlmath]P\left(\overline{H_k}\mid B\right)[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Verovatnoća nalaženja aviona

Postod DusanStamenkovic » Utorak, 10. Maj 2016, 21:25

Hvala na brzim odgovorima!
Naravno, sada nije problem da se uradi zadatak :)
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Verovatnoća nalaženja aviona

Postod Daniel » Sreda, 11. Maj 2016, 09:00

I na kraju, kad dobiješ izraz za traženu verovatnoću u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath], nema potrebe da je računaš za svaku od mogućih [inlmath]11[/inlmath] vrednosti [inlmath]k[/inlmath]. Dovoljno je da nađeš njen prvi izvod po [inlmath]k[/inlmath], izjednačiš ga s nulom i rešiš po [inlmath]k[/inlmath].
Ako nisam nigde kiksno u računu, dobije se [inlmath]k\approx6,075[/inlmath]. Pošto je [inlmath]k[/inlmath] celobrojno, to znači da [inlmath]k[/inlmath] za koje je verovatnoća nalaženja aviona maksimalna može biti ili [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath] – s mnogo većom šansom da bude [inlmath]6[/inlmath], ali ipak treba proveriti računajući verovatnoću za [inlmath]k=6[/inlmath] i [inlmath]k=7[/inlmath] i upoređujući dobijene dve vrednosti. Dobije se da verovatnoća zaista jeste maksimalna za [inlmath]k=6[/inlmath] i da tada iznosi [inlmath]P\left(H_6\right)\approx0,933[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 17:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs