Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Konvergencije nizova slucajnih promenljivih

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Konvergencije nizova slucajnih promenljivih

Postod gavra » Subota, 04. Jun 2016, 16:36

Konvergencija u raspodeli mi je manje vise jasna, ali imam par pitanja za konvergenciju u verovatnoci.

Ovde kod mene, kada se proverava konvergencija u verovatnoci, koristi se oznaka [inlmath]A_n^\epsilon = \{ |X_n - X| > \epsilon \} , \epsilon>0[/inlmath], i onda se proverava [inlmath]P(A_n^\epsilon)[/inlmath] i onda se na osnovu te verovatnoce dobija izraz koji obicno tezi nuli ili ka beskonacno. U mnogim zadacima je istaknuto recimo : "Dokazati da [inlmath]X_n \underrightarrow v 0[/inlmath]", i onda ce [inlmath]A_n^\epsilon[/inlmath] da bude [inlmath]\{|X_n - 0| > \epsilon\} = \{|X_n| > \epsilon\}[/inlmath], ali ima zadataka u kojima kaze: "Ispitati sve tri vrste konvergencije", tada ne znam kako da izaberem [inlmath]X[/inlmath].

Evo par primera:

1. Dat je niz nezavisnih slucajnih promenljivih [inlmath]X_n[/inlmath] sa gustinama [inlmath]p_n(x)=\begin{cases}
\frac{n-1}{x^n}, & x>1\\
0, & x\le1
\end{cases}[/inlmath], ispitati konvergencije. I u resenju stoji da je [inlmath]X = 1 : A_n^\epsilon = \{X_n - 1 > \epsilon\}[/inlmath]. [inlmath]P(A_n^\epsilon) \rightarrow 0[/inlmath] , pa [inlmath]X_n \underrightarrow v 1[/inlmath]

2. Niz nezavisnih slucajnih promenljivih ima raspodele [inlmath]X_n :\Bigg( \begin{array}{c} 0\\ 1-\frac{1}{\sqrt{n}} \end{array} \begin{array}{c} \sqrt{n}\\ \frac{1}{\sqrt{n}} \end{array} \Bigg)[/inlmath]. Ispitati sve vrste konvergencije. Ovde je [inlmath]A_n^\epsilon = \{X_n - 0 > \epsilon\}[/inlmath], tako da proveravam da li [inlmath]X_n \rightarrow 0[/inlmath]

Dakle, moram da znam to [inlmath]X[/inlmath] u [inlmath]A_n^\epsilon = \{ |X_n - X| > \epsilon \}[/inlmath] da bi znao cemu tezi [inlmath]X_n[/inlmath], pa me interesuje kako da znam koje [inlmath]X[/inlmath] treba da izaberem?
gavra  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Konvergencije nizova slucajnih promenljivih

Postod desideri » Ponedeljak, 06. Jun 2016, 14:33

Imam samo jedno potpitanje. Da li je ovo:
[dispmath]A_n^\epsilon = \{ |X_n - X| > \epsilon \} , \epsilon>0[/dispmath]
isto što i ovo:
[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty} P\{ |X_n - X| > \epsilon \}=1 , \epsilon>0[/dispmath]
p.s. Koliko ja znam, onda se kaže da niz slučajnih promenljivih [inlmath]X_n[/inlmath] konvergira u verovatnoći ka slučajnoj promenljivoj [inlmath]X[/inlmath].
Nego oznaku [inlmath]A_n^\epsilon[/inlmath] vidim prvi put, pa molim i da se navede izvor.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Konvergencije nizova slucajnih promenljivih

Postod gavra » Ponedeljak, 06. Jun 2016, 15:23

Izvor je knjiga "Uvod u verovatnocu" od Slobodana Jankovica, profesora sa mog fakulteta.

A sto se tice podpitanja, nije bas, ali je slicno.

Evo definicije iz knjige za konvergenciju u verovatnoci:

Za niz slucajnih promenljivih [inlmath]X1,X2,...[/inlmath] kazemo da konvergira u veroatnoci ka slucajnoj promenljivoj [inlmath]X[/inlmath] ako [inlmath](\forall \epsilon > 0)\ \ P(|X_n - X|<\epsilon)\rightarrow 1[/inlmath] sto pisemo kao [inlmath]X_n \underrightarrow v X[/inlmath]

A kada ispitujemo konvergenciju u verovatnoci, obelezimo [inlmath]A_n^\epsilon = \{|X_n - X| > \epsilon\},\epsilon > 0[/inlmath] (promenimo znak u [inlmath]>\epsilon)[/inlmath] i onda ako [inlmath]P( A_n^\epsilon)\rightarrow 0[/inlmath], onda niz [inlmath]X_n \underrightarrow v X[/inlmath], i ja ne znam koje [inlmath]X[/inlmath] treba da izaberem, da bi znao cemu tezi taj niz, naravno osim kada se ne kaze eksplicitno: "dokazi da niz tezi toj i toj vrednosti".

Ako je i dalje nejasno sta pitam, postavicu resenje celog zadatka, nije dugacko..
gavra  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Konvergencije nizova slucajnih promenljivih

Postod desideri » Ponedeljak, 06. Jun 2016, 16:05

Sada mi je jasno.
Ovde sam pogrešio:
desideri je napisao:Imam samo jedno potpitanje. Da li je ovo:
[dispmath]A_n^\epsilon = \{ |X_n - X| > \epsilon \} , \epsilon>0[/dispmath]
isto što i ovo:
[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty} P\{ |X_n - X| > \epsilon \}=1 , \epsilon>0[/dispmath]

Trebalo je da napišem:
[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty} P\{ |X_n - X| < \epsilon \}=1 , \epsilon>0[/dispmath]
A to očigledno nije isto kao u pomenutoj oznaci.
Moram još da razmislim pa odgovaram.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Konvergencije nizova slucajnih promenljivih

Postod Onomatopeja » Sreda, 08. Jun 2016, 18:13

U ovom drugom zadatku primeti da kada [inlmath]n \to \infty[/inlmath] imas da [inlmath]\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt{n}} \to 1[/inlmath], pa za dovoljno veliko [inlmath]n[/inlmath] je verovatnoca skoro [inlmath]1[/inlmath] da slucajna promenljiva uzima vrednost [inlmath]0[/inlmath]. Zbog toga je razumna pretpostavka da se pokusa sa [inlmath]X=0[/inlmath].

Za prvi primer ne bih znao odmah, jer sam davno radio ove stvari (i od tada se nisam bavio), no primeti da je racvanje slucaja za [inlmath]x=1[/inlmath], pa verovatno to vuce ka tome da se pokusa sa [inlmath]X=1[/inlmath]. Ako bi napisao kako se zavrsava prvi primer, onda bih mozda mogao da dam neko bolje intuitivno objasnjenje.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Konvergencije nizova slucajnih promenljivih

Postod gavra » Sreda, 08. Jun 2016, 21:27

Pa da, ima smisla ovo za diskretnu raspodelu, nije mi palo na pamet. Sto se tice ovog prvog, i to se secam da je spominjano negde, da treba da se ispituje onde gde se funkcija "lomi", ali danas sam imao taj kolokvijum i bas se takav zadatak pao da ne mogu da odlucim za koje [inlmath]X[/inlmath] da proveravam konvergenciju. Bilo je [inlmath]X_n[/inlmath] sa gustinom [inlmath]p(x) = e^{-nx},\ x\ge 0[/inlmath], i ja nadjem nekako da u raspodeli konvergira ka 1 (samo sam nasao funkciju raspodele i kada se pusti da [inlmath]n \rightarrow \infty[/inlmath] dobio sam 1), i uzeo sam tu jedinicu i za ostale tipove konvergencije, i bas sam se dvoumio dal da uzmem 0, jer je [inlmath]x\ge 0[/inlmath], ali mi je bilo logicno da ako niz u raspodeli konvergira ka 1, da uzmem 1.

No nebitno, kad dobijem rezultate, ako nisam prosao, postavicu ceo taj zadatak pa cemo da vidimo :)
gavra  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs