Mislio sam da ćeš malo još prokomentarisati prethodni zadatak i reći koje si rešenje dobio, kako bismo bili sigurni da si sve lepo razumeo.
U ovom zadatku funkciju možeš očitati (tj. predstaviti je u analitičkom obliku) na sledeći način:
Prvo za segment [inlmath]\left[2,3\right][/inlmath]. Vidi se da je u pitanju linearna funkcija, što znači da se može predstaviti kao [inlmath]g\left(x\right)=kx+n[/inlmath]. Potrebno je odrediti koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath] i slobodan član [inlmath]n[/inlmath]. Iskoristimo poznate koordinate krajnjih tačaka [inlmath]\left(2,\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(3,0\right)[/inlmath], koje uvrštavamo u [inlmath]g\left(x\right)=kx+n[/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{2}=2k+n\\
0=3k+n[/dispmath]
čime smo dobili sistem od dve jednačine s dve nepoznate. Rešavanjem sistema se dobije [inlmath]k=-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]n=\frac{3}{2}[/inlmath], što kad uvrstimo u jednačinu [inlmath]g\left(x\right)=kx+n[/inlmath] daje [inlmath]g\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}[/inlmath].
Tebi prepuštam da isto tako odrediš analitički oblik funkcije za preostala dva segmenta.
Nakon toga moći ćeš funkciju zapisati u obliku
[dispmath]g\left(x\right)=\begin{cases}
-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}, & 2\le x\le3\\
\cdots & 4\le x\le5\\
\cdots & 6\le x\le7\\
0, & \text{van}
\end{cases}[/dispmath]
Ukupnu površinu ispod grafika funkcije možeš odrediti (i time proveriti da li je ovo funkcija gustine) i bez računanja analitičkog oblika. Dovoljno je samo da izračunaš ukupnu površinu između grafika funkcije i [inlmath]x[/inlmath]-ose:
- slika funkcije.png (988 Bajta) Pogledano 615 puta
Ukupna površina između grafika funkcije i [inlmath]x[/inlmath]-ose jednaka je zbiru površina crvenog trougla, zelenog pravougaonika i plavog trougla, a njih lako odrediš.
Recimo, za crveni trougao odmah vidiš da je pravougli, s katetama koje iznose [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], pa je njegova površina jednaka [inlmath]\frac{1}{2}\left(1\cdot\frac{1}{2}\right)[/inlmath], a to je [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath]. Isto tako i za zeleni pravougaonik i za plavi trougao.
Ovo pod b) ili je neko trik-pitanje, ili je u tekstu greška. Funkciju ne bi bilo moguće modifikovati u intervalu [inlmath]\left(3,4\right)[/inlmath] tako da ona postane funkcija gustine. Modifikacijom u intervalu [inlmath]\left(4,5\right)[/inlmath] to bi bilo moguće.