-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
dusan91
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Nedelja, 13. Novembar 2016, 15:14
Tako je, može da se uradi i preko kombinacija bez ponavljanja – sasvim ispravan postupak.
Preko permutacija s ponavljanjem može da se uradi na sledeći način. Povoljni slučajevi su svi oni kod kojih se na bilo koje dve kocke pojave dve petice, na bilo koje dve kocke dve četvorke i na onoj koja preostane – neki broj koji nije četiri ili pet. Taj broj koji nije četiri ili pet posmatramo kao neki element [inlmath]X[/inlmath] (kasnije ćemo uzeti u obzir to da on može imati neku od četiri vrednosti, zasad ga posmatramo kao jedan element). Znači, ukupno imamo [inlmath]5[/inlmath] elemenata – [inlmath]4,4,5,5,X[/inlmath], tj. [inlmath]n=5[/inlmath]. Element [inlmath]4[/inlmath] se pojavljuje dvaput (tj. [inlmath]n_1=2[/inlmath]), element [inlmath]5[/inlmath] se pojavljuje takođe dvaput (tj. [inlmath]n_2=2[/inlmath]) i element [inlmath]X[/inlmath] se pojavljuje jednom (tj. [inlmath]n_3=1[/inlmath]). Znači, broj njihovih permutacija s ponavljanjem, prema formuli [inlmath]\overline P_n^{n_1,n_2,\ldots,n_m}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdots n_m!}[/inlmath], biće
[dispmath]\overline P_5^{2,2,1}=\frac{5!}{2!\cdot2!\cdot1!}[/dispmath]
Taj broj mogućnosti dobije se za svaku od mogućih vrednosti elementa [inlmath]X[/inlmath]. A pošto element [inlmath]X[/inlmath] može imati neku od [inlmath]4[/inlmath] vrednosti, potrebno je prethodno dobijeni broj mogućnosti još pomnožiti sa [inlmath]4[/inlmath]. Dakle,
[dispmath]\frac{5!}{\cancel2!\cdot\cancel2!\cdot1!}\cdot\cancel4=5!=120[/dispmath]
što je isti broj povoljnih slučajeva koji se dobije i preko kombinacija bez ponavljanja, [inlmath]{5\choose2}{3\choose2}4[/inlmath].
I uopšte, kombinacije bez ponavljanja i permutacije s ponavljanjem dosta su povezane. Broj slučajeva u kojima na [inlmath]n[/inlmath] pozicija raspoređujemo [inlmath]m[/inlmath] različitih elemenata, pri čemu se element [inlmath]a_i[/inlmath] pojavljuje [inlmath]n_i[/inlmath] puta, preko kombinacija bez ponavljanja zapisujemo kao
[dispmath]C_n^{n_1}C_{n-n_1}^{n_2}C_{n-n_1-n_2}^{n_3}\cdots C_{n_{m-1}+n_m}^{n_{m-1}}C_{n_m}^{n_m}[/dispmath]
a to se dalje može zapisati kao
[dispmath]\begin{align}
&{n\choose n_1}{n-n_1\choose n_2}{n-n_1-n_2\choose n_3}\cdots{n_{m-1}+n_m\choose n_{m-1}}{n_m\choose n_m}=\\
=&\small\frac{n!}{{\color{blue}\cancel{(n-n_1)!}}n_1!}\cdot\frac{\color{blue}\cancel{(n-n_1)!}}{{\color{red}\cancel{(n-n_1-n_2)!}}n_2!}\cdot\frac{\color{red}\cancel{(n-n_1-n_2)!}}{{\color{#808000}\cancel{(n-n_1-n_2-n_3)!}}n_3!}\cdots\frac{\color{purple}\cancel{(n_{m-1}+n_m)!}}{{\color{green}\cancel{(\bcancel{n_{m-1}}+n_m-\bcancel{n_{m-1}})!}}n_{m-1}!}\cdot\frac{\color{green}\cancel{n_m}}{\underbrace{(n_m-n_m)!}_{\large0!=1}n_m!}\\
=&\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!\cdots n_{m-1}!\cdot n_m!}\\\
\\\
=&\overline P_n^{n_1,n_2,n_3\ldots,n_{m-1},n_m}
\end{align}[/dispmath]
i to je ta veza između kombinacija bez ponavljanja i permutacija s ponavljanjem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain