Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Sreda, 01. Februar 2017, 00:14
od Kiku Kiki
Apsolutno neprekidna slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] data je svojom gustinom
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\frac{x}{8}-\frac{1}{4}, & 2\le x\le6,\\
0, & \text{inače.}
\end{cases}[/dispmath] a. Izračunati verovatnoću [inlmath]P=\{X\le5\}[/inlmath].
b. Naći matematičko očekivanje ove slučajno promenljive.


Dakle, ja sam pokušavala svašta, ali mi ovi zadaci sa integralima malo slabije idu. Sve sam napamet nešto radila, ali nikako nisam mogla da se snađem. Verujem da zadatak nije težak. :D
Ovako nešto :mrgreen:
[dispmath]P=\{2\le x\le5\}=\int\limits_2^5f(x)\,\mathrm dx=\int\limits_2^5\left(\frac{x}{8}-\frac{1}{4}\right)\,\mathrm dx=\left.\left(\frac{\frac{x^2}{2}}{8}-\frac{1}{4}x\right)\right|_2^5=\left.\left(\frac{x^2}{16}-\frac{x}{4}\right)\right|_2^5=\\
=\left(\frac{5^2}{16}-\frac{5}{4}\right)-\left(\frac{2^2}{16}-\frac{2}{4}\right)=\left(\frac{25}{16}-\frac{20}{16}\right)-\left(\frac{4}{16}-\frac{8}{16}\right)=\frac{5}{16}-\left(-\frac{4}{16}\right)=\frac{5}{16}+\frac{4}{16}=\frac{9}{16}[/dispmath]

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Sreda, 01. Februar 2017, 10:25
od Daniel
Sve je tačno, i postupak, i rezultat. :correct: Uz par napomena:

Ne piše se [inlmath]P=\{X\le5\}[/inlmath] i [inlmath]P=\{2\le X\le5\}[/inlmath], već se piše bez znaka jednakosti: [inlmath]P\{X\le5\}[/inlmath] i [inlmath]P\{2\le X\le5\}[/inlmath].
Ne piše se [inlmath]P\{2\le x\le5\}[/inlmath], već se piše [inlmath]P\{2\le X\le5\}[/inlmath] (veliko [inlmath]X[/inlmath]).

Naravno, nije zgoreg uvek proveriti da li data funkcija zadovoljava uslove da bi bila funkcija gustine – nenegativnost, tj. [inlmath]f(x)\ge0,\;\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath] i normiranost, tj. [inlmath]\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm dx=1[/inlmath]. U slučaju da neki od ova dva uslova nije zadovoljen, znači da podaci nisu ispravno zadati (što se verovatno neće desiti, al' za svaki slučaj).

Pošto je gustina linearna funkcija u intervalu [inlmath][2,6][/inlmath] a van tog intervala je nula, traženu verovatnoću je moguće izračunati i bez integrala. Grafik funkcije gustine izgledao bi ovako:

gustina.png
gustina.png (1.12 KiB) Pogledano 1416 puta

Verovatnoća koja se traži, [inlmath]P\{2\le X\le5\}[/inlmath], predstavlja površinu zelenkastog trougla. Uoči se sličnost tog trougla i onog većeg trougla (pri čemu je površina tog većeg trougla jednaka [inlmath]1[/inlmath]) i iskoristi se činjenica da se površine dva slična trougla međusobno odnose kao kvadrati njihovih odgovarajućih stranica...

Naravno, sve ovo se odnosilo na deo zadatka pod a). Potrebno je još odrediti i matematičko očekivanje pod b).

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Sreda, 01. Februar 2017, 11:14
od Kiku Kiki
Hvala!

Ja sam ovaj zadatak imala na ispitu i ovako sam ga uradila, ali mi profesorka nije priznala ništa. Zato mi ništa nije bilo jasno.

A što se tiče matematičkog očekivanja tu već ništa ne znam :mrgreen:

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Sreda, 01. Februar 2017, 12:03
od Daniel
Matematičko očekivanje računaš po formuli [inlmath]E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)\,\mathrm dx[/inlmath].
Ovde već ne ginu integrali.

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Četvrtak, 02. Februar 2017, 20:20
od Kiku Kiki
Znači ja sam dobro uradila zadatak ali mi profesorka nije priznala jer joj je tako palo na pamet?

doduše nisam uradila ceo, ali se odvojeno i boduje.

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Četvrtak, 02. Februar 2017, 21:07
od Daniel
Zašto ti profesorka nije priznala zadatak to ne mogu da komentarišem, jer nemam uvid u tvoj rad.
Ono što mogu da kažem, to je da su ispravna oba načina izložena u ovoj temi – i tvoj i moj postupak. Naravno, uz ispravke koje već pomenuh, a koje se tiču obeležavanja.

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Februar 2017, 18:20
od Kiku Kiki
Evo opet problem sa matematičkim očekivanjem

Odradim ovoliko:
[dispmath]E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)\,\mathrm dx=\int\limits_2^6x\cdot\left(\frac{x}{8}-\frac{1}{4}\right)\,\mathrm dx[/dispmath] I dalje se ne snalazim. Gledam u skripti, pokušavam, ali ne mogu da ukapiram.

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Februar 2017, 19:42
od Daniel
Pa, u čemu je problem? Ispravno si postavila integral, sad samo treba da ga rešiš.

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Februar 2017, 19:57
od Kiku Kiki
Ne znam da ga rešim jer sam baš slaba sa integralima.
Da l' nešto treba da se izbaci ispred integrala?

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Februar 2017, 20:15
od Daniel
Izmnožiš [inlmath]x[/inlmath] sa svakim sabirkom u zagradi (zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje, tj. [inlmath]a(b+c)=ab+ac[/inlmath]), a zatim to rastaviš na zbir dva integrala (pravilo [inlmath]\int\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,\mathrm dx=\int f(x)\,\mathrm dx+\int g(x)\,\mathrm dx[/inlmath]).

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Utorak, 07. Februar 2017, 17:28
od Kiku Kiki
[dispmath]E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)\,\mathrm dx=\int\limits_2^6x\cdot\left(\frac{x}{8}-\frac{1}{4}\right)\,\mathrm dx=\int\limits_2^6\left(\frac{x^2}{8}-\frac{x}{4}\right)\,\mathrm dx=\left.\left(\frac{x^3}{16}-\frac{x^2}{4}\right)\right|_2^6=\\
=\left(\frac{6^3}{16}-\frac{6^2}{4}\right)-\left(\frac{2^3}{16}-\frac{2^2}{4}\right)=\left(\frac{216}{16}-\frac{36}{4}\right)-\left(\frac{8}{16}-\frac{4}{4}\right)=\\
=\left(\frac{216}{16}-\frac{144}{16}\right)-\left(\frac{8}{16}-\frac{16}{16}\right)=\frac{72}{16}-\left(-\frac{8}{16}\right)=\frac{72}{16}+\frac{8}{16}=\frac{80}{16}=5[/dispmath] Ovako nešto?

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Utorak, 07. Februar 2017, 18:22
od Daniel
Greška ti je u ovom koraku:
Kiku Kiki je napisao:[dispmath]\cdots=\int\limits_2^6\left(\frac{x^2}{8}-\frac{x}{4}\right)\,\mathrm dx=\left.\left(\frac{x^3}{16}-\frac{x^2}{4}\right)\right|_2^6=\cdots[/dispmath]

Imaj u vidu da je [inlmath]\int x^n\,\mathrm dx=\frac{x^{n+1}}{n{\color{red}+1}}[/inlmath], a ti si radila kao da je [inlmath]\int x^n\,\mathrm dx=\frac{x^{n+1}}{n}[/inlmath].



I, kad treba da oduzmeš razlomke kao što su [inlmath]\frac{216}{16}[/inlmath] i [inlmath]\frac{36}{4}[/inlmath], lakše ti je da prvo skratiš brojioce i imenioce, pa zatim da vršiš oduzimanje. Znači,
[dispmath]\frac{\cancel{216}^{27}}{\cancel{16}^2}-\frac{36}{4}=\frac{27}{2}-9=\cdots[/dispmath] Slično i za [inlmath]\frac{8}{16}-\frac{4}{4}[/inlmath] (prvi razlomak je zapravo jednak jednoj polovini, a drugi jedinici).

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Utorak, 07. Februar 2017, 18:44
od Kiku Kiki
[dispmath]E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)\,\mathrm dx=\int\limits_2^6x\cdot\left(\frac{x}{8}-\frac{1}{4}\right)\,\mathrm dx=\int\limits_2^6\left(\frac{x^2}{8}-\frac{x}{4}\right)\,\mathrm dx=\left.\left(\frac{x^3}{24}-\frac{x^2}{8}\right)\right|_2^6=\\
=\left(\frac{6^3}{24}-\frac{6^2}{8}\right)-\left(\frac{2^3}{24}-\frac{2^2}{8}\right)=\left(\frac{216}{24}-\frac{36}{8}\right)-\left(\frac{8}{24}-\frac{4}{8}\right)=\left(9-\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=\\
=\frac{9}{2}-\left(\frac{2}{6}-\frac{3}{6}\right)=\frac{9}{2}-\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{9}{2}+\frac{1}{6}=\frac{27}{6}+\frac{1}{6}=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}[/dispmath] :kojik:

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Utorak, 07. Februar 2017, 18:52
od Daniel
:handgestures-thumbup:

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Utorak, 07. Februar 2017, 18:55
od Kiku Kiki
Joooj konačno :insane:

Hvala puno!

Sutra je ispit, valjda će da prođe dobro.

Re: Verovatnoća i matematičko očekivanje

PostPoslato: Utorak, 07. Februar 2017, 18:56
od Daniel
Srećno. ;)