Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Naći raspodelu slučajne promenljive koristeći karakteristične funkcije

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Naći raspodelu slučajne promenljive koristeći karakteristične funkcije

Postod korisnicko_ime » Subota, 17. Jun 2017, 11:41

Slučajne promenljive [inlmath]X_1,X_2,X_3[/inlmath] su nezavisne sa sledećim raspodelama: [inlmath]\displaystyle P\{X_1=k\}=\frac{1}{2^k},\;P\{X_2=k\}=\frac{2}{3^k},\;P\{X_3=k\}=\frac{4}{5^k},\;k\in\mathbb N[/inlmath]. Koristeći karakteristične funkcije naći raspodelu za slučajnu promenljivu [inlmath]X[/inlmath], gde je [inlmath]X=X_1+X_2+X_3[/inlmath].

Pokazaću rešenje korak po korak, ali ću istaći deo koji mi nije jasan.
Karakteristične funkcije promenljivih [inlmath]X_1,X_2,X_3[/inlmath] su:
[dispmath]h_{X_1}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{e^{ikt}}{2^k}=\frac{e^{it}}{2}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{2}}[/dispmath][dispmath]h_{X_2}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2e^{ikt}}{3^k}=\frac{2e^{it}}{3}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{3}}[/dispmath][dispmath]h_{X_3}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{4e^{ikt}}{5^k}=\frac{4e^{it}}{5}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{5}}[/dispmath]
[dispmath]h_X(t)=h_{X_1+X_2+X_3}(t)=h_{X_1}(t)h_{X_2}(t)h_{X_3}(t)[/dispmath][dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{e^{it}}{2}\right)\left(1-\frac{e^{it}}{3}\right)\left(1-\frac{e^{it}}{5}\right)}[/dispmath][dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\left(\frac{5}{1-\frac{e^{it}}{2}}-\frac{5}{1-\frac{e^{it}}{3}}+\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{5}}\right)[/dispmath] U sledećem koraku, ne razumem zašto suma kreće od nule, kada je u postavci zadatka dato da [inlmath]k\in\mathbb N[/inlmath] - nula nije naglašena (pretpostavimo da je nula uključena - zašto suma kreće od nule?).
[dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right)[/dispmath] Odavde je
[dispmath]P\{X=k+3\}=\frac{4}{15}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right);\quad k=0,1,2,\ldots[/dispmath] Ovde, [inlmath]k[/inlmath] ide od nule zbog prethodnog koraka.

Zbog čega u poslednja dva koraka [inlmath]k[/inlmath] ide od nule?
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Naći raspodelu slučajne promenljive koristeći karakteristične funkcije

Postod Daniel » Subota, 08. Jul 2017, 15:31

korisnicko_ime je napisao:[dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\left(\frac{5}{1-\frac{e^{it}}{2}}-\frac{5}{1-\frac{e^{it}}{3}}+\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{5}}\right)[/dispmath] U sledećem koraku, ne razumem zašto suma kreće od nule, kada je u postavci zadatka dato da [inlmath]k\in\mathbb N[/inlmath] - nula nije naglašena (pretpostavimo da je nula uključena - zašto suma kreće od nule?).
[dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right)[/dispmath]

Prvo, u tom izrazu ti fali [inlmath]e^{ikt}[/inlmath] unutar sume, tj. treba da se dobije
[dispmath]h_X(t)=\frac{4}{15}e^{3it}\sum_{k=0}^{+\infty}{\color{red}e^{ikt}}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right)[/dispmath] E sad, zašto suma ide od nule. U opštem slučaju, izraz za karakterističnu funkciju kod diskretnih raspodela glasi
[dispmath]h_X(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}P\{X=k\}e^{ikt}[/dispmath] Pošto je u ovom zadatku dato da slučajna promenljiva može uzeti vrednost bilo kog prirodnog broja, tj. ide od [inlmath]1[/inlmath] pa nadalje, to znači da su svi sabirci u gornjoj sumi za [inlmath]k\le0[/inlmath] jednaki nuli (jer je [inlmath]P\{X=0\}=0[/inlmath], [inlmath]P\{X=-1\}=0[/inlmath], [inlmath]P\{X=-2\}=0[/inlmath] itd.) te za sumu možemo pisati da ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath]. To važi ako slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] uzima vrednost [inlmath]k[/inlmath]. Međutim, isto tako možemo uzeti da slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] uzima vrednosti [inlmath]k+1[/inlmath], i tada suma po [inlmath]k[/inlmath] mora ići od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath], kako bi slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] i dalje uzimala vrednosti od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath].
Prema tome, to od koje će vrednosti suma ići zavisi od toga na koji način slučajnu promenljivu [inlmath]X[/inlmath] izražavamo preko [inlmath]k[/inlmath].

Kada tražimo zbir slučajnih promenljivih [inlmath]X=X_1+X_2+X_3[/inlmath], pri čemu svaka od slučajnih promenljivih [inlmath]X_1[/inlmath], [inlmath]X_2[/inlmath] i [inlmath]X_3[/inlmath] može uzeti vrednost prirodnog broja od [inlmath]1[/inlmath] pa nadalje, tada, logično, njihov zbir mora uzeti vrednost tek od [inlmath]3[/inlmath] pa nadalje. Karakterističnu funkciju tada možemo pisati u obliku sume koja ide od [inlmath]3[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath] ako [inlmath]X[/inlmath] izražavamo preko [inlmath]k[/inlmath], a možemo, kao što je i učinjeno u ovom rešenju, karakterističnu funkciju pisati i u obliku sume koja ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath] ako [inlmath]X[/inlmath] izaražavamo preko [inlmath]k+3[/inlmath].
Svejedno je na koji će način biti zapisano, [inlmath]X[/inlmath] će u svakom slučaju uzimati vrednost tek od [inlmath]3[/inlmath] pa nadalje.



Uostalom, kad smo došli do sume
[dispmath]h_X(t)=\frac{4}{15}e^{3it}\sum_{k=0}^{+\infty}e^{ikt}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right)[/dispmath] možemo, kako bismo došli do oblika u kojem suma ide od [inlmath]3[/inlmath], uvesti smenu [inlmath]l=k+3[/inlmath]:
[dispmath]h_X(t)=\frac{4}{15}e^{3it}\sum_{l=3}^{+\infty}e^{i(l-3)t}\left(5\cdot\frac{1}{2^{l-3}}-5\cdot\frac{1}{3^{l-3}}+\frac{1}{5^{l-3}}\right)\\
h_X(t)=\frac{4}{15}\cancel{e^{3it}}\cancel{e^{-3it}}\sum_{l=3}^{+\infty}e^{ilt}\left(40\cdot\frac{1}{2^l}-135\cdot\frac{1}{3^l}+125\cdot\frac{1}{5^l}\right)[/dispmath] Naravno, pošto je svejedno hoćemo li neku vrednost obeležiti sa [inlmath]l[/inlmath] ili sa [inlmath]k[/inlmath], možemo sada svuda gde imamo [inlmath]l[/inlmath] ponovo napisati [inlmath]k[/inlmath] (uz usputno skraćivanje brojilaca i imenioca sa [inlmath]5[/inlmath]):
[dispmath]h_X(t)=\frac{4}{3}\sum_{k=3}^{+\infty}e^{ikt}\left(8\cdot\frac{1}{2^k}-27\cdot\frac{1}{3^k}+25\cdot\frac{1}{5^k}\right)[/dispmath] i to je izraz za karakterističnu funkciju slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath]. Odatle je
[dispmath]X=\frac{4}{3}\left(8\cdot\frac{1}{2^k}-27\cdot\frac{1}{3^k}+25\cdot\frac{1}{5^k}\right),\quad k=3,4,5,\ldots[/dispmath] i to je takođe validno rešenje ovog zadatka. Do tog oblika rešenja moguće je doći i direktnom smenom [inlmath]k+3=l[/inlmath] u onaj oblik koji si ti napisao,
[dispmath]P\{X=k+3\}=\frac{4}{15}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right);\quad k=0,1,2,\ldots\\
P\{X=l\}=\frac{4}{15}\left(5\cdot\frac{1}{2^{l-3}}-5\cdot\frac{1}{3^{l-3}}+\frac{1}{5^{l-3}}\right);\quad l=3,4,5,\ldots\\
P\{X=l\}=\frac{4}{15}\left(40\cdot\frac{1}{2^l}-135\cdot\frac{1}{3^l}+125\cdot\frac{1}{5^l}\right);\quad l=3,4,5,\ldots\\
P\{X=l\}=\frac{4}{3}\left(8\cdot\frac{1}{2^l}-27\cdot\frac{1}{3^l}+25\cdot\frac{1}{5^l}\right);\quad l=3,4,5,\ldots[/dispmath] Znači, bez obzira na oblik u kojem predstavljaš rešenje, iz rešenja se vidi da slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] ne može uzeti vrednosti [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath] itd., dok je [inlmath]P\{X=3\}=\frac{4}{15}[/inlmath], [inlmath]P\{X=4\}=\frac{62}{225}[/inlmath] itd.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7285
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3948 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 25. Septembar 2018, 08:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs