Naći raspodelu slučajne promenljive koristeći karakteristične funkcije
Poslato: Subota, 17. Jun 2017, 10:41
Slučajne promenljive [inlmath]X_1,X_2,X_3[/inlmath] su nezavisne sa sledećim raspodelama: [inlmath]\displaystyle P\{X_1=k\}=\frac{1}{2^k},\;P\{X_2=k\}=\frac{2}{3^k},\;P\{X_3=k\}=\frac{4}{5^k},\;k\in\mathbb N[/inlmath]. Koristeći karakteristične funkcije naći raspodelu za slučajnu promenljivu [inlmath]X[/inlmath], gde je [inlmath]X=X_1+X_2+X_3[/inlmath].
Pokazaću rešenje korak po korak, ali ću istaći deo koji mi nije jasan.
Karakteristične funkcije promenljivih [inlmath]X_1,X_2,X_3[/inlmath] su:
[dispmath]h_{X_1}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{e^{ikt}}{2^k}=\frac{e^{it}}{2}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{2}}[/dispmath][dispmath]h_{X_2}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2e^{ikt}}{3^k}=\frac{2e^{it}}{3}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{3}}[/dispmath][dispmath]h_{X_3}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{4e^{ikt}}{5^k}=\frac{4e^{it}}{5}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{5}}[/dispmath]
[dispmath]h_X(t)=h_{X_1+X_2+X_3}(t)=h_{X_1}(t)h_{X_2}(t)h_{X_3}(t)[/dispmath][dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{e^{it}}{2}\right)\left(1-\frac{e^{it}}{3}\right)\left(1-\frac{e^{it}}{5}\right)}[/dispmath][dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\left(\frac{5}{1-\frac{e^{it}}{2}}-\frac{5}{1-\frac{e^{it}}{3}}+\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{5}}\right)[/dispmath] U sledećem koraku, ne razumem zašto suma kreće od nule, kada je u postavci zadatka dato da [inlmath]k\in\mathbb N[/inlmath] - nula nije naglašena (pretpostavimo da je nula uključena - zašto suma kreće od nule?).
[dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right)[/dispmath] Odavde je
[dispmath]P\{X=k+3\}=\frac{4}{15}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right);\quad k=0,1,2,\ldots[/dispmath] Ovde, [inlmath]k[/inlmath] ide od nule zbog prethodnog koraka.
Zbog čega u poslednja dva koraka [inlmath]k[/inlmath] ide od nule?
Pokazaću rešenje korak po korak, ali ću istaći deo koji mi nije jasan.
Karakteristične funkcije promenljivih [inlmath]X_1,X_2,X_3[/inlmath] su:
[dispmath]h_{X_1}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{e^{ikt}}{2^k}=\frac{e^{it}}{2}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{2}}[/dispmath][dispmath]h_{X_2}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2e^{ikt}}{3^k}=\frac{2e^{it}}{3}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{3}}[/dispmath][dispmath]h_{X_3}(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{4e^{ikt}}{5^k}=\frac{4e^{it}}{5}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{5}}[/dispmath]
[dispmath]h_X(t)=h_{X_1+X_2+X_3}(t)=h_{X_1}(t)h_{X_2}(t)h_{X_3}(t)[/dispmath][dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{e^{it}}{2}\right)\left(1-\frac{e^{it}}{3}\right)\left(1-\frac{e^{it}}{5}\right)}[/dispmath][dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\left(\frac{5}{1-\frac{e^{it}}{2}}-\frac{5}{1-\frac{e^{it}}{3}}+\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{5}}\right)[/dispmath] U sledećem koraku, ne razumem zašto suma kreće od nule, kada je u postavci zadatka dato da [inlmath]k\in\mathbb N[/inlmath] - nula nije naglašena (pretpostavimo da je nula uključena - zašto suma kreće od nule?).
[dispmath]=\frac{4}{15}e^{3it}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right)[/dispmath] Odavde je
[dispmath]P\{X=k+3\}=\frac{4}{15}\left(5\cdot\frac{1}{2^k}-5\cdot\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}\right);\quad k=0,1,2,\ldots[/dispmath] Ovde, [inlmath]k[/inlmath] ide od nule zbog prethodnog koraka.
Zbog čega u poslednja dva koraka [inlmath]k[/inlmath] ide od nule?