Gustina i matematičko očekivanje

PostPoslato: Sreda, 16. Maj 2018, 15:52
od Ilija Varvarin
Pozdrav svima, ovako glasi zadatak:

Slučajna promjenljiva [inlmath]X[/inlmath] ima sa vjerovatnoćom [inlmath]0.3[/inlmath] eksponencijalnu raspodjelu [inlmath]\mathcal{E}(\lambda)[/inlmath], a sa vjerovatnoćom [inlmath]0.7[/inlmath] raspodjelu datu funkcijom gustine [inlmath]f_2(x)=\frac{1}{2}e^{−|x+1|}[/inlmath], za sve [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Naći gustinu i matematičko očekivanje slučajne promjenljive [inlmath]X[/inlmath].

Ne razumijem kako slucajna promjenljiva može imati raspodjelu sa nekom vjerovatnoćom, pretpostavljam da na intervalu [inlmath](-\infty,-1)[/inlmath] [inlmath]X[/inlmath] ima gustinu [inlmath]f(x)=\frac{1}{2}e^{x+1}[/inlmath], a na [inlmath][-1,0)[/inlmath] [inlmath]f(x)=\frac{1}{2}e^{-(x+1)}[/inlmath] jer je eksponencijalna raspodjela jednaka nuli na tim intervalima. Ali šta da radim na intervalu [inlmath](0,\infty)[/inlmath]?

Re: Gustina i matematičko očekivanje

PostPoslato: Četvrtak, 17. Maj 2018, 16:21
od Daniel
Nije mi baš jednostavno da ovo objasnim mnogo jednostavnijim rečima nego što je to učinjeno u samom zadatku (u kojem je, po meni, prilično jasno rečeno o čemu se radi). Al' da pokušam.

Imamo dva moguća slučaja. Prvi je da će slučajna promenljiva imati eksponencijalnu raspodelu [inlmath]\mathcal{E}(\lambda)[/inlmath] (i verovatnoća tog slučaja je [inlmath]0,3[/inlmath]), a drugi slučaj je da će slučajna promenljiva imati raspodelu [inlmath]f_2(x)=\frac{1}{2}e^{−|x+1|}[/inlmath] (i verovatnoća tog slučaja je [inlmath]0,7[/inlmath]).

To znači, verovatnoću da slučajna promenljiva pripada npr. nekom intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath] dobio bi kao [inlmath]0,3p_1+0,7p_2[/inlmath], gde je [inlmath]p_1[/inlmath] verovatnoća da slučajna promenljiva koja ima raspodelu [inlmath]\mathcal{E}(\lambda)[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath], a [inlmath]p_2[/inlmath] verovatnoća da slučajna promenljiva koja ima raspodelu [inlmath]f_2(x)[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath].

Re: Gustina i matematičko očekivanje

PostPoslato: Četvrtak, 17. Maj 2018, 21:32
od Ilija Varvarin
Hvala na objašnjenju, ne bih nikad primijetio da ovdje iskoristim totalnu vjerovatnoću. To znači da ova slučajna promjenljiva nije ni diskretnog ni neprekidnog tipa. Ali kako da odredim ove vjerovatnoće [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath]?

Re: Gustina i matematičko očekivanje

PostPoslato: Nedelja, 20. Maj 2018, 23:37
od Daniel
Ova slučajna promenljiva jeste neprekidnog tipa, jer ovako kako je zadata može imati bilo koju vrednost iz skupa realnih brojeva. Kao što ti napisah, koji god interval [inlmath](a,b)[/inlmath] da posmatraš ([inlmath]a<b[/inlmath]), slučajna promenljiva će s nekom nenultnom verovatnoćom pripadati tom intervalu. Verovatnoće [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath] iz mog primera određuješ tako što za prvu posmatraš gustinu eksponencijalne raspodele na tom intervalu, a za drugu posmatraš gustinu [inlmath]f_2(x)[/inlmath] na tom intervalu. Dakle, [inlmath]p_1=\int\limits_a^bf_1(x)\,\mathrm dx[/inlmath] i [inlmath]p_2=\int\limits_a^bf_2(x)\,\mathrm dx[/inlmath], gde je [inlmath]f_1(x)=\begin{cases} 0, & x<0\\ \lambda e^{-\lambda x}, & x\ge0 \end{cases}[/inlmath] (tj. zadata eksponencijalna funkcija), dok je [inlmath]f_2(x)[/inlmath] zadata izrazom u tekstu zadatka.

Prema tome, verovatnoća da će slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] pripadati nekom intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath] jednaka je [inlmath]0,3p_1+0,7p_2[/inlmath], tj. [inlmath]0,3\int\limits_a^bf_1(x)\,\mathrm dx+0,7\int\limits_a^bf_2(x)\,\mathrm dx[/inlmath], tj. [inlmath]\int\limits_a^b\bigl(0,3f_1(x)+0,7f_2(x)\bigr)\,\mathrm dx[/inlmath]. Mislim da je odavde sasvim vidljivo da je gustina slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] kontinualna funkcija, kao i čemu je jednaka.

Re: Gustina i matematičko očekivanje

PostPoslato: Subota, 23. Jun 2018, 22:05
od Ilija Varvarin
Funkcija gustine:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\frac{0,7}{2}e^{x+1}, & x<-1\\
\frac{0,7}{2}e^{-(x+1)}, & -1\leq x<0\\
0,3\lambda e^{-\lambda x}+\frac{0,7}{2}e^{-(x+1)}, & x\ge0
\end{cases}[/dispmath] Matematičko očekivanje [inlmath]E(X)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,\mathrm dx=\frac{0,3}{\lambda}-1,4[/inlmath].
Da li je ovo tačno rješenje?

Re: Gustina i matematičko očekivanje

PostPoslato: Nedelja, 24. Jun 2018, 13:12
od Daniel
Ja dobijem [inlmath]\frac{0,3}{\lambda}-0,7[/inlmath].

Re: Gustina i matematičko očekivanje

PostPoslato: Nedelja, 24. Jun 2018, 13:30
od Ilija Varvarin
Da, greška u prvom integralu tj. [inlmath]2/2=2[/inlmath] :lol:
Hvala na pomoći! :)