Brod i mine (diskretne slucajne varijable) – ispitni zadatak iz vjerovatnoce

PostPoslato: Sreda, 27. Jun 2018, 15:05
od Haske
Pozdrav,

Pripremajuci se za ispit iz predmeta u naslovu naisao sam na jedan zadatak sa kojim se vec neko vrijeme mucim.

Zadatak glasi: "Brod plovi kanalom gdje su redom postavljene [inlmath]3[/inlmath] mine koje mogu eksplodirati nezavisno jedna od druge i za koje su vjerojatnosti da nece eksplodirati u trenutku nailaska broda: [inlmath]0.5[/inlmath], [inlmath]0.3[/inlmath], [inlmath]0.4[/inlmath]. Ako je [inlmath]X[/inlmath] - broj mina pored kojih brod prodje prije prve eksplozije, naci raspodjelu slucajne varijable [inlmath]X[/inlmath]."

E sad, poznato mi je da kada uradim zadatak i saberem sve vjerovatnoce (vjerovatnocu za prelazak broda preko jedne mine, vjerovatnocu za prelazak broda preko dvije mine itd...) moram dobiti [inlmath]1[/inlmath].

Ovako sam pokusao:
[dispmath]P(x=1)=0,5[/dispmath] [inlmath]P(x=1)[/inlmath] - vjerovatnoca da ce brod preci preko jedne mine
[dispmath]P(x=2)=0,5\cdot0,3=0,15[/dispmath] [inlmath]P(x=2)[/inlmath] - vjerovatnoca da ce brod preci preko dvije mine
[dispmath]P(x=3)=0,5\cdot0,3\cdot0,4=0,06[/dispmath] [inlmath]P(x=3)[/inlmath] - vjerovatnoca da ce brod preci preko tri mine

Kada saberem ove tri vrijednosti tj. rezultata rezultat ocigledno nije jedan ([inlmath]0,71[/inlmath]).

Sad mozda grijesim sto nisam uzeo u obzir da postoji mogucnost da brod nece preci niti preko jedne mine tj. da ce odmah prva puci pa oko toga nisam siguran.

Pa ako neko moze da mi ukaze na dio na kojem uporno cinim gresku.

Unaprijed hvala.

Re: Brod i mine (diskretne slucajne varijable) – ispitni zadatak iz vjerovatnoce

PostPoslato: Četvrtak, 28. Jun 2018, 01:10
od Daniel
Haske je napisao:[dispmath]P(x=1)=0,5[/dispmath] [inlmath]P(x=1)[/inlmath] - vjerovatnoca da ce brod preci preko jedne mine

Ako ćemo striktno po tekstu zadatka, [inlmath]P(X=1)[/inlmath] (obrati pažnju na to da je [inlmath]X[/inlmath] veliko) označava verovatnoću da će brod preći preko tačno jedne mine. Ovo što si ti izračunao, to je verovatnoća da će brod preći preko bar jedne mine, jer nisi razmatrao mogućnost hoće li neka od preostale dve mine eksplodirati ili ne.
Da bismo dobili verovatnoću da će brod proći preko tačno jedne mine, moramo posmatrati slučaj u kojem brod prođe preko prve mine, a onda ga druga mina uništi. Znači, [inlmath]P(X=1)=0,5(1-0,3)[/inlmath], tj. proizvod verovatnoće da prva mina neće eksplodirati i verovatnoće da će druga mina eksplodirati.

Slično uradiš i za [inlmath]P(X=2)[/inlmath] i za [inlmath]P(X=3)[/inlmath].

Vodi računa i o tome da [inlmath]X[/inlmath] može uzeti i vrednost [inlmath]0[/inlmath], što odgovara slučaju da brod naleti već na prvu minu.

Ako uradiš na način koji sam ti pokazao, dobićeš na kraju ono što i očekuješ, tj. da je [inlmath]\sum\limits_{k=0}^3P(X=k)=1[/inlmath].