Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Pomoću karakterističnih funkcija naći raspodelu za X+Y

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Pomoću karakterističnih funkcija naći raspodelu za X+Y

Postod kristina97 » Ponedeljak, 06. Avgust 2018, 00:35

Pozdrav svima, ovako glasi zadatak:
Slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] su nezavisne sa raspodelama
[dispmath]X\colon P\left(X=k\right)=\frac{1}{2^k},\;x=1,2,\ldots\\
Y\colon P\left(Y=k\right)=\frac{2^{k-1}}{3^k},\;k=1,2,\ldots[/dispmath] Pomoću karakterističnih funkcija naći raspodelu za [inlmath]X+Y[/inlmath].

Odredila sam karakterističnu funkciju za [inlmath]X+Y[/inlmath] (ako je sve u redu, jer nemam rešenje zadatka), pa imam problem da odredim raspodelu.
Dobila sam da je
[dispmath]\varphi_X\left(t\right)=\frac{e^{it}}{2}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{2}}\\
\varphi_Y\left(t\right)=\frac{e^{it}}{3}\frac{1}{1-\frac{2e^{it}}{3}}[/dispmath] Pošto su [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] nezavisne slučajne promenljive, tada je [inlmath]\varphi_{X+Y}\left(t\right)=\varphi_X\left(t\right)\varphi_Y\left(t\right)[/inlmath] tj. nakon sređivanja
[dispmath]\varphi_{X+Y}\left(t\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{2^{k-2}}-\frac{2^k}{3^{k-1}}\right)e^{itk}[/dispmath] Ne znam kako iz ovog da dobijem raspodelu, da nema ova [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] na početku, možda bih uzela član sa sumom bez [inlmath]e^{itk}[/inlmath], pa može li neka pomoć? :D
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Pomoću karakterističnih funkcija naći raspodelu za X+Y

Postod Daniel » Ponedeljak, 06. Avgust 2018, 01:57

Čemu je jednak izraz unutar sume za [inlmath]k=0[/inlmath]? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7286
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3948 puta

Re: Pomoću karakterističnih funkcija naći raspodelu za X+Y

Postod kristina97 » Ponedeljak, 06. Avgust 2018, 02:42

Jednak je [inlmath]1[/inlmath], pa kad ga odvojim iz sume poništi se sa ovom [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i dobijem da je [inlmath]P\left(X+Y=k\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2^k}{3^{k-1}}-\frac{1}{2^{k-2}}\right)[/inlmath]? :D
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Pomoću karakterističnih funkcija naći raspodelu za X+Y

Postod Daniel » Ponedeljak, 06. Avgust 2018, 10:46

Tako je. :thumbup: Primetićeš da i za [inlmath]k=1[/inlmath] dolazi do poništavanja, pa je i taj sabirak jednak nuli. Dakle, suma kreće tek od sabirka koji sadrži [inlmath]e^{i2k}[/inlmath], što je i logično – ako je minimalna moguća vrednost [inlmath]X[/inlmath] jednaka [inlmath]1[/inlmath], a minimalna moguća vrednost [inlmath]Y[/inlmath] takođe [inlmath]1[/inlmath], onda minimalna moguća vrednost [inlmath]X+Y[/inlmath] mora biti [inlmath]2[/inlmath]. Zato i suma mora krenuti od [inlmath]k=2[/inlmath].



Nego, ja zaista ne znam kojim si načinom sređivanja došla do tog izraza koji na prvi pogled jeste zbunjujuć. Ja bih ti preporučio sledeći način. Nakon što pomnožimo [inlmath]\varphi_X(t)[/inlmath] i [inlmath]\varphi_Y(t)[/inlmath] dobijemo [inlmath]\varphi_{X+Y}(t)[/inlmath]:
[dispmath]\varphi_{X+Y}(t)=\frac{e^{i2t}}{6}\frac{1}{\left(1-\frac{e^{it}}{2}\right)\left(1-\frac{2e^{it}}{3}\right)}[/dispmath] Zatim to rastaviš metodom parcijalnih razlomaka, tako što [inlmath]\frac{1}{\left(1-\frac{e^{it}}{2}\right)\left(1-\frac{2e^{it}}{3}\right)}[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\frac{A}{1-\frac{e^{it}}{2}}+\frac{B}{1-\frac{2e^{it}}{3}}[/inlmath], odakle se izračuna da je [inlmath]A=-3[/inlmath] i [inlmath]B=4[/inlmath]:
[dispmath]\varphi_{X+Y}(t)=\frac{e^{i2t}}{6}\left(\frac{4}{1-\frac{2e^{it}}{3}}-\frac{3}{1-\frac{e^{it}}{2}}\right)\\
\varphi_{X+Y}(t)=\frac{2e^{i2t}}{3}\frac{1}{1-\frac{2e^{it}}{3}}-\frac{e^{i2t}}{2}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{2}}[/dispmath] Zbog ovog [inlmath]e^{i2t}[/inlmath] vidimo da će suma ići od [inlmath]k=2[/inlmath] (što je logično, iz razloga koji sam gore napisao). Zato ćemo prethodni izraz prilagoditi tako da ga možemo lako transformisati u sumu koja kreće od [inlmath]k=2[/inlmath]:
[dispmath]\varphi_{X+Y}(t)=\frac{3}{2}\left(\frac{2e^{it}}{3}\right)^2\frac{1}{1-\frac{2e^{it}}{3}}-2\left(\frac{e^{it}}{2}\right)^2\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{2}}\\
\varphi_{X+Y}(t)=\frac{3}{2}\sum_{k=2}^{+\infty}\left(\frac{2e^{it}}{3}\right)^k-2\sum_{k=2}^{+\infty}\left(\frac{e^{it}}{2}\right)^k\\
\varphi_{X+Y}(t)=\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{2^{k-1}}{3^{k-1}}e^{ikt}-\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{2^{k-1}}e^{ikt}\\
\varphi_{X+Y}(t)=\sum_{k=2}^{+\infty}\left(\frac{2^{k-1}}{3^{k-1}}-\frac{1}{2^{k-1}}\right)e^{ikt}[/dispmath] što je jednako rezultatu koji si i ti dobila (samo je lepše napisano).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7286
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3948 puta

Re: Pomoću karakterističnih funkcija naći raspodelu za X+Y

Postod kristina97 » Ponedeljak, 06. Avgust 2018, 14:54

Hvala puno, baš je lakše, ja sam pokušala da sredim izraz, a samo sam ga komplikovala. :D
Nakon što sam izmnožila zagrade i rešila se razlomaka u imeniocu dobila sam
[dispmath]\varphi_{X+Y}\left(t\right)=\frac{1}{2}\frac{2e^{2it}}{2e^{2it}-7e^{it}+6}[/dispmath] Onda sam brojilac dopunjavala da bude kao imenilac i tu sam onda i dobila odvojen član, tj. [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], pa sam tek onda koristila metodu parcijalnih razlomaka.. :lol:
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 25. Septembar 2018, 09:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs