Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Naći očekivanje sume nezavisnih promenljivih

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Naći očekivanje sume nezavisnih promenljivih

Postod nkole » Utorak, 04. Septembar 2018, 19:30

Neka su [inlmath]X_1,X_2,\ldots,X_n[/inlmath] nezavisne slučajne promenljive sa eksponencijalnom raspodelom [inlmath]\varepsilon(1)[/inlmath]. Naći matematičko očekivanje slučajne promenljive [inlmath]Y=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2[/inlmath].

Rešenje:
[dispmath]E(X_i)=\frac{1}{1}=1\\
D(X_i)=\frac{1}{1^2}=1\\
E\left(X^2_i\right)=D(X_i)+E^2(X_i)=2\\
E(Y)=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE\left(X_i^2\right)-E\left(\left(\frac{1}{n}\right)^2\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=\\
=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n2-\frac{1}{n^2}E\left(\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=\frac{2n}{n}-\frac{1}{n^2}E\left(\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=\cdots[/dispmath] Sad valjda ide neka formula za kvadrat sume. Fora je što ne znam kako glasi i kako se koristi, na internetu sam nalazio neke koje se ne poklapaju.

Znam da je valjda [inlmath]\sum_{1\leq i<j\leq n}c={n\choose2}c[/inlmath], ako može to da se iskoristi.

Voleo bih detaljniji postupak. Rezultat je [inlmath]\frac{n-1}{n}[/inlmath].
nkole  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Naći očekivanje sume nezavisnih promenljivih

Postod Daniel » Sreda, 05. Septembar 2018, 07:55

Nema potrebe da znaš gotovu formulu za kvadrat sume, dovoljno je samo da izmnožiš [inlmath](X_1+X_2+\cdots+X_n)[/inlmath] sa [inlmath](X_1+X_2+\cdots+X_n)[/inlmath]. I to je onda jednako
[dispmath]\begin{array}{r}
X_1^2+X_2^2+X_3^2+\cdots+X_{n-1}^2+X_n^2+\\
+2(X_1X_2+X_1X_3+X_1X_4+\cdots+X_1X_{n-1}+X_1X_n+\\
+X_2X_3+X_2X_4+\cdots+X_2X_{n-1}+X_2X_n+\\
+\cdots+\\
+X_{n-2}X_{n-1}+X_{n-2}X_n+\\
+X_{n-1}X_n)
\end{array}[/dispmath] Ostalo je samo da primeniš ono što već znaš, da je [inlmath]E\left(X_i^2\right)=2[/inlmath], pri čemu sabiraka oblika [inlmath]X_i^2[/inlmath] imaš ukupno [inlmath]n[/inlmath]; zatim, pošto su [inlmath]X_i[/inlmath] i [inlmath]X_j[/inlmath] ([inlmath]i\ne j[/inlmath]) nezavisne, to će biti [inlmath]E(X_iX_j)=E(X_i)E(X_j)[/inlmath], a već si našao čemu je jednako [inlmath]E(X_i)[/inlmath]. Broj sabiraka oblika [inlmath]X_iX_j[/inlmath] ([inlmath]i<j[/inlmath]) određuješ kao broj kombinacija bez ponavljanja od [inlmath]n[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase (jer od [inlmath]n[/inlmath] slučajnih promenljivih [inlmath]X_i[/inlmath] biraš dve pri čemu redosled odabira nije bitan). I to je sve što ti je potrebno da bi dobio traženi rezultat...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4140 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 07. Decembar 2019, 07:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs