Kada novčić ne pokriva cjelobrojne koordinate
Poslato: Četvrtak, 11. Oktobar 2018, 13:14
Na ravninu na kojoj su istaknute točke s cjelobrojnim koordinatama bačen je novčić promjera [inlmath]0.5[/inlmath] jedinica.
Kolika je vjerojatnost da novčić neće pokriti nijednu istaknutu točku?
Rješenje: [inlmath]1-\frac{\pi}{4}[/inlmath]
Dobijem ovo rješenje ali ako stavim da je polumjer (radijus), a ne promjer (dijametar) [inlmath]0.5[/inlmath] jedinica.
Uzeo sam jedan jedinični kvadrat iz koordinatne mreže i zamislio krugove (čije su površine jednake površini novčića) kako pokrivaju četiri ugla jednog kvadrata. Središta tih krugova su u vrhovima kvadrata, odnosno cjelobrojnim koordinatama koje čine taj neki jedinični kvadrat iz koordinatne mreže. Novčić pokriva cjelobrojnu točku, odnosno neku od točaka u vrhovima kvadrata, ako je njegovo središte (novčića) unutar četvrtine nekog od zamišljenih krugova.
[inlmath]A=[/inlmath]{novčić ne pokriva nijednu istaknutu točku}
[inlmath]\bar{A}=[/inlmath]{novčić pokriva barem jednu istaknutu točku}
Dakle, četvrtina svakog zamišljenog kruga nalazi se unutar kvadrata, a krugova (zapravo četvrtina krugova) imamo četiri.
Kad bi polumjer (radijus) bio [inlmath]0.5[/inlmath] dobijem:
[dispmath]m(\bar{A})=4\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\pi=\frac{\pi}{4}\\
P(\bar{A})=\frac{m(\bar{A})}{m(\Omega)}=\frac{\frac{\pi}{4}}{1}=\frac{\pi}{4}\\
P(A)=1-\frac{\pi}{4}[/dispmath] Tu mi je [inlmath]\Omega[/inlmath] podskup zadane ravnine, odnosno jedinični kvadrat, a komplementarni skupovi [inlmath]\bar{A}[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] su podskupovi od [inlmath]\Omega[/inlmath].
Da sam uvrstio kao što je zadano dobio bih da je [inlmath]P(\bar{A})=\frac{\pi}{16}[/inlmath] i [inlmath]P(A)=1-\frac{\pi}{16}[/inlmath]
Ne znam drugačije, a radio sam po uzoru na jedan sličan zadatak. Cijelo vrijeme sumnjam u svoje rješenje najviše zbog toga što me muči to što novčić leži i izvan ovog jediničnog kvadratića kada mu središte padne u ove četvrtine, pa ne znam da li se to može ovako.
Osim toga, našao sam neki dokument s Prirodoslovno-matematičkog fakulteta u Zagrebu u kojem je jednako zadan zadatak i rješenje.
Molim za savjet i možebitne kritike. Hvala.
Kolika je vjerojatnost da novčić neće pokriti nijednu istaknutu točku?
Rješenje: [inlmath]1-\frac{\pi}{4}[/inlmath]
Dobijem ovo rješenje ali ako stavim da je polumjer (radijus), a ne promjer (dijametar) [inlmath]0.5[/inlmath] jedinica.
Uzeo sam jedan jedinični kvadrat iz koordinatne mreže i zamislio krugove (čije su površine jednake površini novčića) kako pokrivaju četiri ugla jednog kvadrata. Središta tih krugova su u vrhovima kvadrata, odnosno cjelobrojnim koordinatama koje čine taj neki jedinični kvadrat iz koordinatne mreže. Novčić pokriva cjelobrojnu točku, odnosno neku od točaka u vrhovima kvadrata, ako je njegovo središte (novčića) unutar četvrtine nekog od zamišljenih krugova.
[inlmath]A=[/inlmath]{novčić ne pokriva nijednu istaknutu točku}
[inlmath]\bar{A}=[/inlmath]{novčić pokriva barem jednu istaknutu točku}
Dakle, četvrtina svakog zamišljenog kruga nalazi se unutar kvadrata, a krugova (zapravo četvrtina krugova) imamo četiri.
Kad bi polumjer (radijus) bio [inlmath]0.5[/inlmath] dobijem:
[dispmath]m(\bar{A})=4\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\pi=\frac{\pi}{4}\\
P(\bar{A})=\frac{m(\bar{A})}{m(\Omega)}=\frac{\frac{\pi}{4}}{1}=\frac{\pi}{4}\\
P(A)=1-\frac{\pi}{4}[/dispmath] Tu mi je [inlmath]\Omega[/inlmath] podskup zadane ravnine, odnosno jedinični kvadrat, a komplementarni skupovi [inlmath]\bar{A}[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] su podskupovi od [inlmath]\Omega[/inlmath].
Da sam uvrstio kao što je zadano dobio bih da je [inlmath]P(\bar{A})=\frac{\pi}{16}[/inlmath] i [inlmath]P(A)=1-\frac{\pi}{16}[/inlmath]
Ne znam drugačije, a radio sam po uzoru na jedan sličan zadatak. Cijelo vrijeme sumnjam u svoje rješenje najviše zbog toga što me muči to što novčić leži i izvan ovog jediničnog kvadratića kada mu središte padne u ove četvrtine, pa ne znam da li se to može ovako.
Osim toga, našao sam neki dokument s Prirodoslovno-matematičkog fakulteta u Zagrebu u kojem je jednako zadan zadatak i rješenje.
Molim za savjet i možebitne kritike. Hvala.