Stranica 1 od 1

Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Četvrtak, 29. Novembar 2018, 18:06
od Miladin Jovic
Verovatnoća da se knjiga nalazi u biblioteci je [inlmath]p[/inlmath]. Ako je knjiga u biblioteci, sa istom verovatnoćom se nalazi na jednoj od [inlmath]n[/inlmath] polica. Pregledano je [inlmath]m\,(m<n)[/inlmath] polica i knjiga nije nađena. Kolika je sada verovatnoća da je knjiga u biblioteci?

Neka [inlmath]B[/inlmath] označava da posle pregleda [inlmath]m[/inlmath] polica knjiga nije nađena, a [inlmath]A[/inlmath] da je knjiga u biblioteci.
Mislim da se traži [inlmath]P(A|B)[/inlmath].
Verovatnoća da se knjiga nalazi na jednoj polici je [inlmath]p/n[/inlmath].
[dispmath]P(A|B)=\frac{{n-m\choose1}\cdot\frac{p}{n}\cdot\left(\frac{n-p}{n}\right)^{n-m-1}}{{n\choose m}\cdot\left(\frac{n-p}{n}\right)^m}[/dispmath] Nisam siguran u tačnost rešenja.

Re: Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Petak, 30. Novembar 2018, 21:40
od Daniel
Kad nisi siguran u tačnost rešenja, pokušaj s uvrštavanjem nekih karakterističnih vrednosti za [inlmath]m[/inlmath], za koje ti je poznato koliko treba da iznosi tražena verovatnoća, pa uporedi s verovatnoćom koju dobiješ tim izrazom do kog si došao.
Konkretno,
  • za [inlmath]m=0[/inlmath] verovatnoća da je knjiga u biblioteci biće [inlmath]p[/inlmath], jer nismo ni počeli s pregledanjem polica pa je verovatnoća da je knjiga u biblioteci ostala nepromenjena u odnosu na početnu;
  • za [inlmath]m=n[/inlmath] verovatnoća da je knjiga u biblioteci mora biti [inlmath]0[/inlmath], jer smo pretražili sve police a knjigu nismo našli.
Ako se sve verovatnoće poklapaju, tada je rešenje verovatno tačno. Ali, ako se makar jedna verovatnoća ne poklapa, tada rešenje sigurno nije tačno.

Pretpostavljam da si radio tako što si primenio Bajesovu formulu, ali nisam uspeo da se snađem šta ti je u ovom izrazu [inlmath]P(A)[/inlmath], šta je [inlmath]P(B|A)[/inlmath], a šta je [inlmath]P(B)[/inlmath].

Re: Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Petak, 30. Novembar 2018, 21:53
od Miladin Jovic
Izvinjavam se što se nisam potpuno precizno izrazio.
Neka [inlmath]B[/inlmath] označava događaj da posle pregleda [inlmath]m[/inlmath] polica knjiga nije nađena, a [inlmath]A[/inlmath] da je knjiga u biblioteci.
Nisam koristio Bajesovu formulu, već samo uslovnu verovatnoću.
[dispmath]P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{{n-m\choose1}\cdot\frac{p}{n}\cdot\left(\frac{n-p}{n}\right)^{n-m-1}}{{n\choose m}\cdot\left(\frac{n-p}{n}\right)^m}[/dispmath] [inlmath]A\cap B[/inlmath] bi označavao događaj da se knjiga nalazi na nekoj od preostalih [inlmath]n-m[/inlmath] polica.

Re: Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Petak, 30. Novembar 2018, 22:35
od Daniel
I dalje ne razumem kako si došao do izraza za [inlmath]P(A\cap B)[/inlmath] i za [inlmath]P(B)[/inlmath] (a to je zapravo i bila suština mog pitanja), ali čini mi se kao da si događaje da knjiga nije nađena na prvoj, drugoj... [inlmath]n[/inlmath]-toj polici posmatrao kao nezavisne događaje, što oni nisu. Nakon što knjigu ne nađeš na prvoj polici, verovatnoća da se knjiga nalazi na jednoj polici više nije [inlmath]\frac{p}{n}[/inlmath] – prvo, zato što „u igri“ više nemaš [inlmath]n[/inlmath] već [inlmath]n-1[/inlmath] polica, a drugo, zato što ni verovatnoća da se knjiga nalazi u biblioteci više nije [inlmath]p[/inlmath].

Jesi li pokušao da proveriš svoje rešenje na način koji sam opisao?

Re: Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Petak, 30. Novembar 2018, 22:57
od Miladin Jovic
Upravo tako kao što si rekao, gledao sam na njih kao na nezavisne događaje. Zato je i rešenje pogrešno.

Re: Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Subota, 01. Decembar 2018, 09:09
od Daniel
Sad ne bi trebalo da bude problema da izračunaš te verovatnoće znajući da događaji nisu nezavisni, ali svakako javi ako bude trebalo da priskočimo u pomoć.

Re: Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Nedelja, 24. Januar 2021, 21:22
od miki069
Nikako ne mogu da provalim sta je [inlmath]A\cap B[/inlmath] za Bajesovu formulu. Meni se cini da verovatnoca pada eksponencijalno, a ne linearno. Da li moze samo krajnji izraz za [inlmath]p[/inlmath]?

Re: Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Januar 2021, 07:20
od Daniel
miki069 je napisao:Nikako ne mogu da provalim sta je [inlmath]A\cap B[/inlmath] za Bajesovu formulu.

[inlmath]P(A\cap B)[/inlmath] predstavlja verovatnoću da su se istovremeno desili i događaj [inlmath]A[/inlmath] i događaj [inlmath]B[/inlmath].
Pri tome važi [inlmath]P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)[/inlmath].
Prema tome, u ovom konkretnom slučaju [inlmath]A\cap B[/inlmath] predstavlja događaj da knjiga jeste u biblioteci, ali da pretraživanjem [inlmath]m[/inlmath] polica nismo pronašli tu knjigu.

miki069 je napisao:Da li moze samo krajnji izraz za [inlmath]p[/inlmath]?

Verovatno misliš na krajnji izraz za [inlmath]P(A|B)[/inlmath] ([inlmath]p[/inlmath] je po uslovu zadatka nešto što je poznato).
Dakle, krajnji izraz za [inlmath]P(A|B)[/inlmath] je:
[dispmath]P(A|B)=\frac{p(n-m)}{n-pm}[/dispmath] Možemo, kao što sam gore i napisao, rezultat i proveriti uvrštavanjem nekih karakterističnih vrednosti, npr.:
  • za [inlmath]m=0[/inlmath] dobije se [inlmath]P(A|B)=p[/inlmath], što je i logično, jer ako je [inlmath]m=0[/inlmath] znači da nismo još ni počeli traženje, samim tim se verovatnoća da je knjiga u biblioteci nije ni mogla promeniti u odnosu na početnu;
  • za [inlmath]m=n[/inlmath] ([inlmath]p<1[/inlmath]) dobije se [inlmath]P(A|B)=0[/inlmath], što je opet logično, jer ako je [inlmath]m=n[/inlmath] znači da smo pretražili sve police a nismo našli knjigu, samim tim verovatnoća da je knjiga u biblioteci mora biti nula;
  • za [inlmath]p=0[/inlmath] dobije se [inlmath]P(A|B)=0[/inlmath], što je takođe logično, jer ako je [inlmath]p=0[/inlmath] znači da smo u startu znali da knjiga nije bila u biblioteci, pa koliko god polica da (uzaludno) pretražimo, verovatnoća će i dalje biti nula;
  • za [inlmath]p=1[/inlmath] ([inlmath]m<n[/inlmath]) dobije se [inlmath]P(A|B)=1[/inlmath] – i ovo je logično, jer ako je [inlmath]p=1[/inlmath] znači da u startu znamo da se knjiga sigurno nalazi u biblioteci, pa koliko god polica da smo pretražili a da knjigu nismo našli, znamo da ćemo je naći na nekoj od preostalih polica.

Re: Knjiga u biblioteci

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Januar 2021, 18:13
od miki069
Sve je jasno. Ja sam svo vreme koristio geometrijsku raspodelu verovatnoce za pregledanje polica. Hvala.