Fen za kosu – funkcija gustine

PostPoslato: Četvrtak, 29. Novembar 2018, 18:18
od Miladin Jovic
Neka je [inlmath]T[/inlmath] neprekidna slučajna promenljiva koja predstavlja radni vek trajanja fena za kosu. Preciznije, [inlmath]T[/inlmath] predstavlja vreme u godinama dok se ne ukvari. Odrediti konstantu [inlmath]a[/inlmath] i funkciju gustine ako važi:
[dispmath]P(T>t)=\frac a 5\cdot e^{-\frac{at}{10}},\,t\ge0[/dispmath]
Imamo da važi
[dispmath]F(t)=P(T\le t)=1-P(T>t)=\frac 1 5 \left(5-ae^{-\frac{at}{10}}\right)[/dispmath] Dalje bi diferenciranjem funkcije raspodele dobili funkciju gustine u tački [inlmath]t[/inlmath]. Kako da na osnovu funkcije gustine izračunam konstantu [inlmath]a[/inlmath]?

Re: Fen za kosu – funkcija gustine

PostPoslato: Petak, 30. Novembar 2018, 08:04
od Daniel
Jednostavniji način ti je da konstantu [inlmath]a[/inlmath] nađeš pre određivanja funkcije gustine, tako što u [inlmath]P(T>t)=\frac{a}{5}\cdot e^{-\frac{at}{10}}[/inlmath] uvrstiš [inlmath]t=0[/inlmath] (pri čemu znamo kolika je verovatnoća da je [inlmath]T>0[/inlmath]).

A možeš i prvo naći funkciju gustine [inlmath]f(t)[/inlmath], pa onda iskoristiti osobinu funkcije gustine da je [inlmath]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\mathrm dt=1[/inlmath] (naravno, ovde za donju granicu integraljenja uzimaš nulu, jer je [inlmath]f(t)=0[/inlmath] za [inlmath]x<0[/inlmath]).
Mada, ovo bi bio „dupli posao“, jer bi prvo diferencirao pa zatim integralio.

Re: Fen za kosu – funkcija gustine

PostPoslato: Petak, 30. Novembar 2018, 09:44
od Miladin Jovic
Da li može ovako?
[inlmath]F(t)=P(T\le t)=1-P(T>t)=\frac 1 5\left(5-ae^{-\frac{at}{10}}\right)[/inlmath]. Znamo da je [inlmath]P(T=0)=0[/inlmath] tj. [inlmath]a=5[/inlmath].

Re: Fen za kosu – funkcija gustine

PostPoslato: Petak, 30. Novembar 2018, 21:29
od Daniel
Može i tako.