Burn je napisao:1. Prosecno [inlmath]2\%[/inlmath] proizvoda u skladistu je neispravno. U skladistu se nalazi [inlmath]12000[/inlmath] proizvoda. Kolika je verovatnoca da se u skladistu nalazi izmedju [inlmath]300[/inlmath] i [inlmath]700[/inlmath] neispravnih proizvoda? Teorema Moavr-Laplac-a kaze da je verovatnoca [inlmath]=0[/inlmath].
Ako je [inlmath]X[/inlmath] slucajna promenljiva koja predstavlja broj neispravnih proizvoda onda imamo binomnu raspodelu [inlmath]B(12000,0.02)[/inlmath] i [inlmath]q=0,98[/inlmath] (broj ispravnih) i vrsimo aproksimaciju normalnom raspodelom. Tako sam ja uradio ali nisam bas siguran da je rezultat tacan. Moze neko da proveri rezultat?
Ja baš i ne dobijem da je verovatnoća jednaka nuli, ali je svakako vrlo mala.
[inlmath]n=12000\\
p=0,02\\
q=0,98[/inlmath]
[dispmath]np=240,\quad\sqrt{npq}=\sqrt{235,2}[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=P\left(\frac{300-np}{\sqrt{npq}}\le X^*\le\frac{700-np}{\sqrt{npq}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=P\left(\frac{60}{\sqrt{235,2}}\le X^*\le\frac{460}{\sqrt{235,2}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=F\left(\frac{460}{\sqrt{235,2}}\right)-F\left(\frac{60}{\sqrt{235,2}}\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\cancelto{\approx1}{F\left(29,994\right)}-F\left(3,912\right)[/dispmath]
Na osnovu
tabele vrednosti za standardizovanu normalnu raspodelu,
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx1-0,99995[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx5\cdot10^{-5}[/dispmath]
Nešto precizniji rezultat se može dobiti računanjem pomoću funkcije greške, budući da Wolframalpha relativno precizno izračunava funkciju greške, što daje tačniji rezultat nego putem tabela:
[dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-m\right)^2}{2\sigma^2}},\quad m=np,\quad\sigma=\sqrt{npq}[/dispmath][dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-np\right)^2}{2npq}}[/dispmath][dispmath]g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{470,4\pi}}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-240\right)^2}{470,4}}[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\int\limits_{\displaystyle300}^{\displaystyle700}g\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{\sqrt{470,4\pi}}\int\limits_{\displaystyle300}^{\displaystyle700}e^{\displaystyle-\frac{\left(x-240\right)^2}{470,4}}\mathrm dx[/dispmath]
[inlmath]t=\displaystyle\frac{x-240}{\sqrt{470,4}}\\
\mathrm dt=\displaystyle\frac{\mathrm dx}{\sqrt{470,4}}[/inlmath]
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}}^{\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^{\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^{\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}}e^{\displaystyle-t^2}\mathrm dt\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)=\frac{1}{2}\left[\mathrm{erf}\left(\frac{460}{\sqrt{470,4}}\right)-\mathrm{erf}\left(\frac{60}{\sqrt{470,4}}\right)\right][/dispmath]
[inlmath]\mathrm{erf}\left(\displaystyle\frac{460}{\sqrt{470,4}}\right)\approx1[/inlmath] (
link)
[inlmath]\mathrm{erf}\left(\displaystyle\frac{60}{\sqrt{470,4}}\right)\approx0,9999085803[/inlmath] (
link)
[dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx\frac{1}{2}\left(1-0,9999085803\right)[/dispmath][dispmath]P\left(300\le X\le700\right)\approx4,571\cdot10^{-5}[/dispmath]
Burn je napisao:2. Prosecno [inlmath]30\%[/inlmath] posetilaca kupi sladoled i neka je prodato [inlmath]2100[/inlmath] ulaznica za neki festival. Ako sladoled kosta [inlmath]100\text{ din}[/inlmath], kolika je verovatnoca da ce zarada biti bar [inlmath]60\:000\text{ din}[/inlmath]? Moj racun kaze da je verovatnoca priblizno [inlmath]1[/inlmath].
Tekst nije najjasniji, ali pretpostavljam da se misli samo na zaradu od prodatog sladoleda, budući da nije data cena ulaznice?