Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEROVATNOĆA

Simetrična kocka

[inlmath]P\left(A_k/B\right)P\left(B\right)=P\left(B/A_k\right)P\left(A_k\right)[/inlmath]

Simetrična kocka

Postod eseper » Subota, 07. Decembar 2013, 20:41

Simetrična kocka se baca [inlmath]4[/inlmath] puta. Kolika je vjerojatnost događaja da je:
    a) pala točno jedna jedinica
    b) u drugom bacanju pala jedinica?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Simetrična kocka

Postod Daniel » Nedelja, 08. Decembar 2013, 06:12

[inlmath]\left.a\right)[/inlmath] Verovatnoća da je u četiri bacanja pala tačno jedna jedinica jednaka je odnosu broja povoljnih i broja ukupnih ishoda. Broj ukupnih ishoda možemo izračunati kao broj varijacija od [inlmath]6[/inlmath] elemenata [inlmath]4.[/inlmath] klase sa ponavljanjem ([inlmath]6[/inlmath] elemenata jer ima ukupno [inlmath]6[/inlmath] mogućih ishoda i [inlmath]4.[/inlmath] klase jer eksperiment ponavljamo [inlmath]4[/inlmath] puta).
[dispmath]N_u=V_6^4=6^4=1296[/dispmath]
Broj povoljnih ishoda: u slučaju da je u nekom bacanju ispala jedinica, u preostalim bacanjima ne sme ispasti jedinica, jer se u zadatku traži da bude tačno jedna jedinica u četiri bacanja. To znači, u preostala tri bacanja mora ispasti jedan od ukupno pet brojeva, od [inlmath]2[/inlmath] do [inlmath]6[/inlmath]. Broj takvih mogućnosti je [inlmath]5^3[/inlmath] (varijacije od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase sa ponavljanjem), pa još to pomnožimo sa [inlmath]4[/inlmath], budući da je ta jedna jedinica mogla ispasti u prvom, u drugom, u trećem ili u četvrtom bacanju. Znači,
[dispmath]N_p=4\cdot 5^3=4\cdot 125=500[/dispmath]
Tražena verovatnoća je, prema tome,
[dispmath]P=\frac{N_p}{N_u}=\frac{500}{1296}=\frac{125}{324}[/dispmath]


Drugi način – preko binomne raspodele (mada ne znam da li ste je radili):
[dispmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}[/dispmath]
[inlmath]n[/inlmath] je broj ponavljanja eksperimenta, u ovom slučaju [inlmath]n=4[/inlmath].
[inlmath]p[/inlmath] je verovatnoća da se desi povoljan ishod [inlmath]X[/inlmath] (u našem slučaju da ispadne jedinica, dakle, [inlmath]p=\frac{1}{6}[/inlmath]).
[inlmath]k[/inlmath] predstavlja broj pojavljivanja povoljnog ishoda [inlmath]X[/inlmath] u [inlmath]n[/inlmath] bacanja. Pošto mi tražimo verovatnoću da se povoljan ishod (jedinica na kocki) desi tačno jednom, u našem slučaju je [inlmath]k=1[/inlmath]. Prema tome, verovatnoća da je u četiri bacanja dobijena tačno jedna jedinica iznosi:
[dispmath]P\left(X=1\right)={4\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(1-\frac{1}{6}\right)^{4-1}=4\cdot\frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^3=4\cdot\frac{5^3}{6^4}=4\cdot\frac{125}{1296}=\frac{125}{324}[/dispmath]


[inlmath]\left.b\right)[/inlmath] Verovatnoća da je u drugom bacanju pala jedinica (ovako kako je pitanje formulisano, ne zanima nas šta je palo u ostalim bacanjima, tako da posmatramo isključivo to drugo bacanje) jednaka je, takođe, odnosu broja povoljnih i broja ukupnih ishoda. Broj povoljnih ishoda je [inlmath]1[/inlmath] (to je ishod da je pala jedinica), a broj ukupnih ishoda je [inlmath]6[/inlmath]. Prema tome, tražena verovatnoća je [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Simetrična kocka

Postod eseper » Nedelja, 08. Decembar 2013, 16:40

Hvala :thumbup:

c) šestica je pala barem dvaput?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Simetrična kocka

Postod Daniel » Nedelja, 08. Decembar 2013, 20:30

Vrlo sličan princip kao pod [inlmath]\left.a\right)[/inlmath]. Broj ukupnih ishoda već znaš, a pošto je rečeno da treba da ispadnu bar dve šestice, tj. treba da ispadnu dve, tri ili četiri šestice, a ne treba da ispadne jedna ili nijedna, broj povoljnih ishoda možeš izračunati tako što od broja ukupnih ishoda oduzmeš broj slučajeva kada ne ispadne nijedna šestica (tj. kada se u sva četiri bacanja dobiju samo cifre od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]5[/inlmath] – taj broj slučajeva lako odrediš) i još od toga oduzmeš broj slučajeva kada se u ta četiri bacanja dobije tačno jedna šestica (ovaj broj već znaš).

I ovaj zadatak možeš rešiti i preko binomne raspodele, i to na dva načina. Jedan način je da od jedinice (verovatnoća sigurnog događaja) oduzmeš verovatnoću da nije ispala nijedna šestica (znači, u formulu uvrstiš [inlmath]k=0[/inlmath]), a zatim oduzmeš verovatnću da je ispala tačno jedna šestica (znači, uvrstiš [inlmath]k=1[/inlmath], kao i u zadatku pod [inlmath]\left.a\right)[/inlmath].
Drugi način je da sabereš sledeće verovatnoće: verovatnoću da su ispale dve šestice [inlmath]\left(k=2\right)[/inlmath], verovatnoću da su ispale tri šestice [inlmath]\left(k=3\right)[/inlmath] i verovatnoću da su ispale četiri šestice [inlmath]\left(k=4\right)[/inlmath].

Na svaki od ovih načina treba da dobiješ rezultat [inlmath]\frac{171}{1296}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{19}{144}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Simetrična kocka

Postod Kalkulator » Utorak, 03. Jun 2014, 14:09

Nije mi jasno kako da rešim sledeći zadatak:

Homogena kockica se baca sve dok ne padne šestica. Ako u prvom bacanju nije pala šestica, naći verovatnoću da će biti potrebno ne manje od tri bacanja.

Da li može neko da pomogne ili da da neku sugestiju? Hvala.
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Simetrična kocka

Postod Daniel » Utorak, 03. Jun 2014, 14:22

Pretpostavljam, prema tekstu zadatka, da se u tih „ne manje od tri bacanja“ računa i ono prvo bacanje u kojem nije ispala šestica? Ako je tako, onda se zadatak svodi na to da ni u drugom bacanju ne ispadne šestica, a ta verovatnoća je, naravno, [inlmath]\frac{5}{6}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Simetrična kocka

Postod desideri » Ponedeljak, 09. Mart 2015, 08:46

Verovatnoća [inlmath]\frac{5}{6}[/inlmath] jeste tačan rezultat, ali samo ako bi se zahtevalo da se šestica pojavi u trećem bacanju ili kasnije, računajući i prvo bacanje (pretpostavio sam isto kao i Daniel). Pri tome ne manje od tri bacanja ukazuje na tri, četiri, pet itd bacanja. Ovo je slučajni eksperiment koji se ponavlja do prvog uspeha, opisan geometrijskom raspodelom verovatnoća. Teoretski, kockica se može ovako bacati i do beskonačnosti a da do pojave šestice ne dođe. Da bih izbegao računanje ove verovatnoće preko sume geometrijskog reda, računaću verovatnoću suprotnog događaja koja se sa traženom dopunjava do jedinice. Suprotan iskaz od "ne manje od tri bacanja do pojave šestice ako je prvo bacanje "ne-šestica"" je iskaz "Šestica se pojavila u drugom bacanju". Verovatnoća za suprotan iskaz (ovaj drugi) je [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath] pa je tražena verovatnoća [inlmath]\frac{5}{6}[/inlmath].
E, sad, logično je pitanje zašto ja ovoliko komplikujem kada je Daniel uradio zadatak u pola reda? Iz prostog razloga što ovakav zadatak može da se varira, npr. "kolika je verovatnoća da se šestica dobije u ne manje od [inlmath]4[/inlmath] bacanja?" . Onda je suprotan iskaz-šta? Kako bi se onda računalo?
p.s. Rezultat: [inlmath]\frac{25}{36}[/inlmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Simetrična kocka

Postod Daniel » Ponedeljak, 09. Mart 2015, 19:59

Pa dobro, :) nije problem naći verovatnoću ni za opšti slučaj – da će biti potrebno ne manje od [inlmath]n[/inlmath] bacanja, ako u prvih [inlmath]k[/inlmath] bacanja nije pala šestica. Znači, pošto u prvih [inlmath]k[/inlmath] bacanja nije pala šestica, potrebno je da ni u preostalih [inlmath]\left(n-k-1\right)[/inlmath] bacanja ne padne šestica. Pošto je verovatnoća izostanka šestice po jednom bacanju jednaka [inlmath]\frac{5}{6}[/inlmath], verovatnoća da u [inlmath]\left(n-k-1\right)[/inlmath] bacanja ne dobijemo nijednu šesticu iznosi [inlmath]\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k-1}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na VEROVATNOĆA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 16:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs