Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI MATEMATIČKA LOGIKA

Simetričina relacija, i simbol sledi

[inlmath]\left[p\land\left(q\Rightarrow\lnot p\right)\right]\Leftrightarrow\lnot\left(p\Rightarrow q\right)[/inlmath]

Simetričina relacija, i simbol sledi

Postod štime » Nedelja, 07. April 2019, 01:33

Formula za simetričnu relaciju je:
[dispmath](x,y)\in R\,\Longrightarrow\,(y,x)\in R[/dispmath] Problem nastaje u tome što mi nikako ne ide u glavu zašto je stavljena logička operacija implikacija. Jasno mi je šta ova formula kazuje, takođe, upoznat sam sa osnovnim logičkim operacijama. Ali, glavna nejasnoća nastaje kada pokušam da dokažem preko tablice istinitosti implikaciju od prvog dela formule da sledi drugi deo formule. Shvatam da pripadaju istom skupu, odnosno relaciji. Ali nikako ne mogu da dobijem implikaciju sličnu ovoj koja je prezentovana u formuli. Koji su mogući scenariji, kada izraz postaje istinit, a kada lažan, pa na osnovu toga dolazi do (identifikovanja) implikacije? Nadam se da mi neko može pomoći (a i razumeti :facepalm: ).
štime  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Simetričina relacija, i simbol sledi

Postod Jovan111 » Nedelja, 07. April 2019, 11:22

Pozdrav! Malo je konfuzno tvoje pitanje, ali koliko vidim muči te kako da primeniš "definiciju" simetričnosti relacije u realnoj situaciji.

štime je napisao:Ali, glavna nejasnoća nastaje kada pokušam da dokažem preko tablice istinitosti implikaciju od prvog dela formule da sledi drugi deo formule. Shvatam da pripadaju istom skupu, odnosno relaciji. Ali nikako ne mogu da dobijem implikaciju sličnu ovoj koja je prezentovana u formuli. Koji su mogući scenariji, kada izraz postaje istinit, a kada lažan, pa na osnovu toga dolazi do (identifikovanja) implikacije?

Ne znam na šta misliš. Kako može biti nejasno kada je implikacija tačna, a kada nije? Ispod je prikazana tablica koja će ti to, nadam se, pojasniti.
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|}
p & q & p\,\Longrightarrow\,q\\ \hline
\top & \top & \top\\
\top & \bot & \bot\\
\bot & \top & \top\\
\bot & \bot & \top
\end{array}[/dispmath] Pošto te muči i simetričnost sama po sebi daću ti nekoliko primera relacija, iz kojih se nadam da će ti osobina simetričnosti relacije biti jasnija.



Data je binarna relacija [inlmath]\rho=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}[/inlmath]. Ispitati njene osobine.

Kao što znaš, pored neposrednog nabrajanja uređenih parova, binarnu relaciju možemo predstaviti i grafom relacije, ali i preko tablice.

Slika

Ako je ova slika ona koja odgovara datoj binarnoj relaciji, tvoje jedino pitanje jeste da li je relacija simetrična. Simetričnost bi važila ako između svaka dva elementa sa slike važi implikacija [inlmath](x,y)\;\Longrightarrow\;(y,x)[/inlmath]. Ako izaberemo [inlmath]1\rho2[/inlmath], treba da proverimo da li sledi [inlmath]2\rho1[/inlmath]. Sa grafa vidimo da oba elementa, i [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], "šalju strelice" jedan ka drugom, te je [inlmath]\tau(1\rho2)=\top[/inlmath] i [inlmath]\tau(2\rho1)=\top[/inlmath]. Prema tome imamo:
[dispmath]1\rho2\;\Longrightarrow\;2\rho1[/dispmath][dispmath]\top\;\Longrightarrow\;\top[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath] Rekli bismo da je relacija simetrična, jer je implikacija za ovaj par tačna, ali se to mora proveriti za sve parove! Ako posmatramo [inlmath]3\rho1[/inlmath] (nema uređenog para [inlmath](3,1)[/inlmath], kao ni strelice na grafu) i ako je [inlmath]\tau(3\rho1)=\bot[/inlmath], mora biti i [inlmath]\tau(1\rho3)=\bot[/inlmath] (što je u redu, jer nema uređene dvojke [inlmath](1,3)[/inlmath]) da bi se zadovoljila osobina simetričnosti.
[dispmath]3\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho3[/dispmath][dispmath]\bot\;\Longrightarrow\;\bot[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath] Prema tome, i ova implikacija je tačna. Znači da u simetričnoj relaciji može biti onih elemenata koji šalju strelicu u oba smera ili ne šalju ni u jednom, a ne sme biti onih elemenata koji je šalju samo u jednom smeru (ovde tog slučaja nema, jer je relacija simetrična).
Proverimo i poslednji slučaj kada je [inlmath]1\rho1[/inlmath], odnosno što je isto i u "suprotnom smeru" kada je [inlmath]1\rho1[/inlmath]. Mi znamo da uređeni par [inlmath](1,1)[/inlmath] postoji, pa imamo:
[dispmath]1\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho1[/dispmath][dispmath]\top\;\Longrightarrow\;\top[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath] U svim proverenim slučajevima relacija se pokazala simetrična, pa se daljom proverom pokazuje da za ovu relaciju važi osobina simetričnosti. Sada ću ti dati još jedan primer relacije koja nije ni refleksivna ni antisimetrična ni tranzitivna, već samo simetrična, a koji glasi:

Na skupu [inlmath]A=\{ 0,1,2,3\}[/inlmath] definisana je relacija [inlmath]\rho[/inlmath], takva da važi [inlmath]x\rho y\iff x+y<2[/inlmath]. Napravi tablicu i graf ove relacije i ispitaj njena svojstva.

Ovaj primer ću objasniti preko tablice:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|}
\rho & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
0 & \color{red}\top & \top & \bot & \bot\\
1 & \top & \color{red}\bot & \bot & \bot\\
2 & \bot & \bot & \color{red}\bot &\bot\\
3 & \bot & \bot & \bot & \color{red}\bot
\end{array}[/dispmath] Iz tablice se relacija pokazuje simetričnom ako su svi znakovi [inlmath]\top[/inlmath] i [inlmath]\bot[/inlmath] postavljeni simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu tabele (označena crvenom bojom). Pošto to jeste slučaj, ova relacija je simetrična. Takođe, to se može proveriti i preko uređenih parova pojedinačno za svaki par. Uzmimo samo jedan par: [inlmath](1\rho2\;\Longrightarrow\;2\rho1)\iff(\bot\;\Longrightarrow\;\bot)\iff \top[/inlmath], a za ostale probaj sam/sama...
Korisnikov avatar
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 40 puta

Re: Simetričina relacija, i simbol sledi

Postod štime » Nedelja, 07. April 2019, 19:24

Prvenstveno, hvala na tako obimnom i iskrenom odgovoru. Drugo, mene je bunila ta osnovna formula, nazvao bih je polazna formula - formula za simetrične relacije. E sad čini mi se da sam pomoću tvojih primera shvatio suštinu osnovne polazne formule, koju sam napisao kada sam postavljao pitanje. Ovako, pošto je simetrična relacija podvrsta binarnih relacija, tj. podskup dekartovog proizvoda skupa [inlmath]A[/inlmath] npr. Onda to u samome startu izbacuje mogućnost da formula za simetričnu relaciju ima po jednu od dve moguće laži u datom trenutku, odnosno ne može se desiti da je prvi uređeni par istinit a drugi lažan, jer je reč o skupu koji je pomnožen sa samim sobom, i to je zapravo razlog koji nam objašnjava da prvi uređeni par i drugi uređeni par moraju biti ili samo istiniti ili samo lažni u isto vreme? Sve ovo govorim jer sam se pitao zašto je baš izabrana implikacija da povezuje dva uređena para, zašto nije izabrana ekvivalentnost, npr. Shvatam da ekvivalencija znači potpuno jednako što naravno nije tačno, i nije moguće da se navede kao spona. Dok je konjunkcija odnosno 'i' vrlo isključiva, ne bi važilo da su dva uređena para istinita ako su oni zapravo lažni. I kada je reč o disjunkciji takođe bi bio problem ukoliko bi dva uređena para bila laž. Umalo da zaboravim šta me još buni kod svega ovoga, ovde je reč o jednom skupu pomnoženim sa samim sobom, a nekada se implikacija smatra i za podskup.
štime  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Simetričina relacija, i simbol sledi

Postod Jovan111 » Nedelja, 07. April 2019, 20:37

Lepim razmišljanjem si zaključio zašto nije korišćena nijedna druga logička operacija (nego baš implikacija) u definisanju osobine simetričnosti relacije. Na neobičan način, ali ako ti je tako lakše pamtiti, onda je to i u redu, pretpostavljam.



štime je napisao:Umalo da zaboravim šta me još buni kod svega ovoga, ovde je reč o jednom skupu pomnoženim sa samim sobom, a nekada se implikacija smatra i za podskup.

Opet nisi postavio pitanje u formi pitanja sa znakom pitanja na kraju rečenice :think1: Ali shvatio sam šta si me "pitao" :D Nekada se kaže "implikacija u logici je podskup u teoriji skupova", međutim to se samo kaže, ali ima pomalo istine u tome. Naime, implikacija je jedna od osnovnih logičkih operacija, dok se u teoriji skupova za podskup kaže sledeće:

Relacija inkluzije (biti podskup) kaže da je skup [inlmath]A[/inlmath] podskup skupa [inlmath]B[/inlmath], ako i samo ako su svi elementi skupa [inlmath]A[/inlmath] ujedno elementi skupa [inlmath]B[/inlmath].
[dispmath]A\subseteq B\iff(\forall x)(x\in A\;\Longrightarrow\;x\in B)[/dispmath] Dakle, preko implikacije se definiše relacija inkluzije, ali to nisu sinonimni pojmovi!



štime je napisao:... odnosno ne može se desiti da je prvi uređeni par istinit a drugi lažan, jer je reč o skupu koji je pomnožen sa samim sobom, i to je zapravo razlog koji nam objašnjava da prvi uređeni par i drugi uređeni par moraju biti ili samo istiniti ili samo lažni u isto vreme?

Opet konstrukcija pitanja :D Tvoj zaključak bi onda značio da se u implikaciji (kada govorimo o relacijama) mogu javiti samo slučajevi kada su oba argumenta tačna ili oba netačna (što znači da bi implikacija uvek bila tačna, a sve relacije simetrične), a to nije slučaj.

Jovan111 je napisao:Prema tome, i ova implikacija je tačna. Znači da u simetričnoj relaciji može biti onih elemenata koji šalju strelicu u oba smera ili ne šalju ni u jednom, a ne sme biti onih elemenata koji je šalju samo u jednom smeru (ovde tog slučaja nema, jer je relacija simetrična).

Već sam rekao da je moguće da se desi da se strelice "šalju samo u jednom smeru" pa bi tada važilo (na primer) [inlmath]\tau(x\rho y)=\top[/inlmath] i [inlmath]\tau(y\rho x)=\bot[/inlmath], odnosno [inlmath](x,y)\;\Longrightarrow\;(y,x)[/inlmath] bi bilo netačno.



Na skupu [inlmath]A=\{1,2,3,4\}[/inlmath] definisana je relacija [inlmath]x\rho y\iff x>y+1[/inlmath]. Ispitati osobine date relacije.

[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|}
\rho & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
1 & \color{red}\bot & \bot & \bot & \bot\\
2 & \bot & \color{red}\bot & \bot & \bot\\
3 & \top & \bot & \color{red}\bot &\bot\\
4 & \top & \top & \bot & \color{red}\bot
\end{array}[/dispmath] Vidimo sa slike (zbog asimetričnosti tablice u odnosu na glavnu dijagonalu) da relacija nije simetrična. Kao dokaz tome, a i protivdokaz tvojoj konstataciji da "prvi uređeni par i drugi uređeni par moraju biti ili samo istiniti ili samo lažni u isto vreme" ide to da važi [inlmath]\tau(3\rho1)=\top[/inlmath] i [inlmath]\tau(1\rho3)=\bot[/inlmath], odnosno [inlmath](3,1)\;\Longrightarrow\;(1,3)[/inlmath] bi bilo netačno ili na drugi način zapisano, imamo: [inlmath](3\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho3)\iff(\top\;\Longrightarrow\;\bot)\iff\bot[/inlmath].
Korisnikov avatar
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 40 puta

  • +2

Re: Simetričina relacija, i simbol sledi

Postod Daniel » Nedelja, 14. April 2019, 20:35

štime je napisao:Formula za simetričnu relaciju je:
[dispmath](x,y)\in R\,\Longrightarrow\,(y,x)\in R[/dispmath]

Ovde je izostavljena veoma bitna stvar – univerzalni kvantifikator. On kaže da je uslov da neka relacija bude simetrična taj, da za svaka dva elementa [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] važi citirana iskazna formula. Prema tome, tačna definicija simetrične relacije glasi:
[dispmath](\forall x,y\in S)\bigl((x,y)\in R\,\Longrightarrow\,(y,x)\in R\bigr)[/dispmath] gde [inlmath]S[/inlmath] predstavlja posmatrani skup, a [inlmath]R[/inlmath] posmatranu relaciju nad tim skupom.

Jovan111 je napisao:Ako posmatramo [inlmath]3\rho1[/inlmath] (nema uređenog para [inlmath](3,1)[/inlmath], kao ni strelice na grafu) i ako je [inlmath]\tau(3\rho1)=\bot[/inlmath], mora biti i [inlmath]\tau(1\rho3)=\bot[/inlmath] (što je u redu, jer nema uređene dvojke [inlmath](1,3)[/inlmath]) da bi se zadovoljila osobina simetričnosti.

Ovaj primer nije baš najbolji, jer da recimo nema uređenog para [inlmath](3,1)[/inlmath] a da ima uređenog para [inlmath](1,3)[/inlmath], tada bi implikacija zapravo bila tačna, jer bismo imali [inlmath]3\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho3[/inlmath], a to bi bilo [inlmath]\bot\;\Longrightarrow\;\top[/inlmath] i to bi bila tačna implikacija. Međutim, pošto implikacija mora važiti za sve uređene parove, tada bismo imali i implikaciju [inlmath]1\rho3\;\Longrightarrow\;3\rho1[/inlmath] koja bi (za ovaj moj slučaj) dala [inlmath]\top\;\Longrightarrow\;\bot[/inlmath], tj. netačno, pa pošto smo pronašli kontraprimer zaključili bismo da relacija nije simetrična.

S tim u vezi bi bio i odgovor na sledeće pitanje,
štime je napisao:zašto je baš izabrana implikacija da povezuje dva uređena para, zašto nije izabrana ekvivalentnost, npr.

Tako je formulisana definicija. Ništa se ne bi promenilo ni da u definiciji umesto znaka implikacije stoji znak ekvivalencije. Naime, pošto navedena implikacija
[dispmath](x,y)\in R\,\Longrightarrow\,(y,x)\in R[/dispmath] mora važiti za svako [inlmath]x[/inlmath] i za svako [inlmath]y[/inlmath] iz posmatranog skupa kako bi relacija bila simetrična, to znači da implikacija mora važiti i ako u formuli [inlmath]x[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]y[/inlmath] a [inlmath]y[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]x[/inlmath], čime dobijamo
[dispmath](y,x)\in R\,\Longrightarrow\,(y,x)\in R[/dispmath] a što zapravo predstavlja obrnut smer implikacije u odnosu na prvobitnu formulu. To znači da za simetričnost relacije moraju biti zadovoljena oba smera implikacije, tj. mora biti zadovoljena ekvivalencija:
[dispmath](x,y)\in R\iff(y,x)\in R[/dispmath]
Jovan111 je napisao:
Na skupu [inlmath]A=\{ 0,1,2,3\}[/inlmath] definisana je relacija [inlmath]\rho[/inlmath], takva da važi [inlmath]x\rho y\iff x+y<2[/inlmath]. Napravi tablicu i graf ove relacije i ispitaj njena svojstva.

U ovom konkretnom primeru možemo odmah zaključiti da je relacija simetrična i po tome što, kada bi u nejednakosti [inlmath]x+y<2[/inlmath] elementi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] zamenili mesta, dobili bismo [inlmath]y+x<2[/inlmath], tj. nova nejednakost bi bila identična prvobitnoj, što znači da bi i tačnost ove nove nejednakosti bila identična tačnosti one prethodne.
Nasuprot tome, u primeru
Jovan111 je napisao:
Na skupu [inlmath]A=\{1,2,3,4\}[/inlmath] definisana je relacija [inlmath]x\rho y\iff x>y+1[/inlmath]. Ispitati osobine date relacije.

vidimo da bismo, zamenom mesta [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], od prvobitne nejednakosti dobili nejednakost [inlmath]y>x+1[/inlmath], što već nije ista nejednakost kao prvobitna, tako da tu već moramo ispitivanjem pojedinačnih uređenih parova proveriti da li relacija ispunjava uslov simetričnosti.

@štime, tačka 11. Pravilnika :!:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7487
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3901 puta
Pohvaljen: 4015 puta


Povratak na MATEMATIČKA LOGIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 22. April 2019, 14:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs