od Daniel » Utorak, 06. Januar 2015, 18:16
Uvrštavanjem datih iskaza u datu formulu dobije se
[dispmath](\forall x)(\exists y)\Bigg(x\in\mathbb{N}\land y\in\mathbb{N}\Rightarrow\bigg(N\left(x^3\right)\land M\left(x,5-x+y\right)\bigg)\Bigg)[/dispmath][dispmath](\forall x)(\exists y)\bigg(x\in\mathbb{N}\land y\in\mathbb{N}\Rightarrow\left(x^3\in\mathbb{N}\;\land\;x\le 5-x+y\right)\bigg)[/dispmath][dispmath](\forall x)(\exists y)\bigg(x\in\mathbb{N}\land y\in\mathbb{N}\Rightarrow\left(x^3\in\mathbb{N}\;\land\;2x\le 5+y\right)\bigg)[/dispmath][dispmath](\forall x)(\exists y)\bigg(x\in\mathbb{N}\land y\in\mathbb{N}\Rightarrow\left(x^3\in\mathbb{N}\;\land\;2x\le 5+y\right)\bigg)[/dispmath]
i to je to. Pogrešno bi bilo to sad napisati u obliku
[dispmath](\forall x\in\mathbb{N})(\exists y\in\mathbb{N})\left(x^3\in\mathbb{N}\;\land\;2x\le 5+y\right)[/dispmath]
A zbog čega bi bilo pogrešno, pokazaću na jednom drugom primeru. Pretpostavimo da imamo formulu
[dispmath](\forall x)(\exists y)\bigg(x\in\mathbb{N}\land y\in\mathbb{N}\Rightarrow y<x\bigg)[/dispmath]
Ova formula je tačna, jer za bilo koje izabrano [inlmath]x[/inlmath] možemo naći neko [inlmath]y[/inlmath] koje nije prirodan broj, zbog čega će iskaz [inlmath]x\in\mathbb{N}\land y\in\mathbb{N}[/inlmath] biti netačan, pa će cela implikacija biti tačna. Međutim, ako bismo tu prvobitnu formulu napisali u pogrešnom obliku,
[dispmath](\forall x\in\mathbb{N})(\exists y\in\mathbb{N})\left(y<x\right)[/dispmath]
ta formula bi, za razliku od prethodne, bila netačna, a kontraprimer bi bio [inlmath]x=1[/inlmath]. Tada ne postoji nijedno [inlmath]y[/inlmath] iz skupa prirodnih brojeva takvo da bude zadovoljeno [inlmath]y<x[/inlmath].
Da se vratimo na formulu iz ovog zadatka. Ona jeste tačna, jer je za bilo koje izabrano [inlmath]x[/inlmath] uvek moguće izabrati neko [inlmath]y[/inlmath] koje nije prirodan broj, zbog čega će leva strana implikacije, [inlmath]x\in\mathbb{N}\land y\in\mathbb{N}[/inlmath], biti netačna. A čim je leva strana implikacije netačna, implikacija je tačna bez obzira na tačnost desne strane implikacije. Prema tome, za bilo koje izabrano [inlmath]x[/inlmath], moguće je naći takvo [inlmath]y[/inlmath] da cela implikacija bude tačna.
Ne razumem zašto su date konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], kao i [inlmath]I(a)=1[/inlmath] i [inlmath]I(b)=\sqrt 3[/inlmath], kada se te konstante nigde u formuli ne pojavljuju? Pretpostavljam da je ovo ovde samo deo zadatka?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain