Evo da i ja doprinesem ovoj zaista zanimljivoj temi.
Pošto ste već obradili deljivost sa prvih [inlmath]10[/inlmath] prirodnih brojeva, ja ću početi od [inlmath]11[/inlmath], meni najinteresantnijeg kriterijuma deljivosti:
Dakle, broj [inlmath]n=\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_2a_1}[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]11[/inlmath]
akko je broj:
[dispmath]m=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots[/dispmath] deljiv sa [inlmath]11[/inlmath]. Drugim rečima ako sa [inlmath]N[/inlmath] označimo zbir cifara na neparnim
pozicijama, a sa [inlmath]P[/inlmath] zbir cifara na parnim
pozicijama nekog broja, taj broj je deljiv sa [inlmath]11[/inlmath]
akko je:
[dispmath]N-P\equiv0\pmod{11}[/dispmath] ili
[dispmath]11\mid N-P[/dispmath] (koji vam je draži zapis).
Pređimo na deljivost brojem [inlmath]13[/inlmath]. Broj [inlmath]n=\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_2a_1}[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]13[/inlmath]
akko je broj:
[dispmath]m=\overline{a_3a_2a_1}-\overline{a_6a_5a_4}+\overline{a_9a_8a_7}-\cdots[/dispmath] deljiv sa [inlmath]13[/inlmath].
Isto ovo važi i za deljivost sa [inlmath]7[/inlmath].
Dalje idemo na deljivost sa [inlmath]27[/inlmath]. Broj [inlmath]n=\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_2a_1}[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]27[/inlmath]
akko je i broj:
[dispmath]m=\overline{a_3a_2a_1}+\overline{a_6a_5a_4}+\overline{a_9a_8a_7}+\cdots[/dispmath] deljiv sa [inlmath]27[/inlmath].
Isto važi i za [inlmath]37[/inlmath].
Za deljivost sa [inlmath]10^n,\;n\in\mathbb{N}[/inlmath] je jasno da je neki broj [inlmath]m[/inlmath] deljiv sa [inlmath]10^n[/inlmath] ako se završava sa barem [inlmath]n[/inlmath] nula.
Za deljivost sa [inlmath]25[/inlmath] važi da je neki broj [inlmath]n[/inlmath] deljiv sa [inlmath]25[/inlmath] ukoliko se završava ciframa [inlmath]00[/inlmath], [inlmath]25[/inlmath], [inlmath]50[/inlmath] ili [inlmath]75[/inlmath], prostije rečeno ukoliko mu je dvocifreni završetak deljiv sa [inlmath]25[/inlmath]. (Mala digresija: dvocifreni završeci se mogu pojaviti u zadacima iz teorije brojeva, recimo kako biste odredili dvocifreni završetak broja [inlmath]9^{9^9}[/inlmath] bez digitrona? (hint: ostaci pri deljenju sa [inlmath]100[/inlmath]) o dvocifrenom završetku broja nam govori njegov ostatak pri deljenju sa [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]25[/inlmath]...)
U jednom zadatku sam naišao na zanimljiv način provere deljivosti sa [inlmath]19[/inlmath]. Zadatak glasi:
Perica tvrdi da je pronašao algoritam kojim može da utvrdi da li je neki prirodan [inlmath]n[/inlmath] broj deljiv sa [inlmath]19[/inlmath]. Evo njegovog algoritma:
1) Trenutnom broju odbacimo poslednju cifru;
2) Novodobijenom broju dodamo dvostruku vrednost odbačene cifre
3) Sa dobijenim brojem provodimo korake 1) i 2) sve do trenutka dobijanja broja koji je ne veći od [inlmath]19[/inlmath]
(npr. ako imamo [inlmath]n=24817[/inlmath] algoritmom dobijamo niz brojeva [inlmath]2481[/inlmath], [inlmath]2495[/inlmath], [inlmath]249[/inlmath], [inlmath]259[/inlmath], [inlmath]25[/inlmath], [inlmath]43[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]10[/inlmath]).
Perica tvrdi da [inlmath]19\vert n[/inlmath]
akko je poslednji dobijeni broj jednak [inlmath]19[/inlmath]. Da li je Perica u pravu?
Odgovor je
jeste, ali je rešenje, odnosno dokaz, obiman te ga neću pisati, ali eto jednog načina da utvrdimo da li je neki broj deljiv sa [inlmath]19[/inlmath]. Slični algoritmi se mogu napraviti i za deljivost sa [inlmath]10k\pm1[/inlmath]. Barem tako tvrde autori, ja nisam još uvek pokušavao.
Možda nema neke velike koristi od kriterijuma koje sam naveo u konkretnim zadacima, ali je, meni bar, interesantno kako se pronađe veza između, recimo zbira cifara, razlike cifara itd. nekog broja i njegove deljivosti nekim drugim brojem.
P.S. Gore pomenuste (Gamma i desideri) da je [inlmath]7[/inlmath] najproblematičniji po pitanju deljivosti, a mi ovde ,zasad, pokazasmo [inlmath]3[/inlmath] različita kriterijuma deljivosti njime.