Nadam se da će ovo biti interesantno. Što bi rekli stari Latini (ili beše Petrarka, no bolje da pitamo @ubavic), oni koji nisu čuli za ovo neka nauče, a učeni neka se rado sećaju (parafraziram).
Gama funkcija je nesvojstveni integral, Ojlerova funkcija druge vrste, i data je sa:
[dispmath]\Gamma(p)=\int\limits_0^\infty x^{p-1}e^{-x}\mathrm dx\qquad p>0[/dispmath]
Primetite da je ovo određeni integral čiji rezultat
ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath], no kada se izračuna (analitički ili numerički)
zavisiće od [inlmath]p[/inlmath]. Ovaj integral ima osobine:
[inlmath]\Gamma(n)=(n-1)!\quad n=1,2,3,\ldots\qquad\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi\qquad\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)[/inlmath]
Uzgred budi rečeno, po dogovoru se smatra da je [inlmath]0!=1[/inlmath]. Možda vam deluje nelogično, ali bez toga bi mnogo stvari palo u vodu...
Hajde da vidimo čemu ovo uopšte i služi (između ostalog). Recimo da treba rešiti integral:
[dispmath]\int\limits_0^\infty x^{10}e^{-x}\mathrm dx[/dispmath]
Naravno, dovoljno je deset parcijalnih integracija i gotovo. Dobro, i poneki limes uz to, zar ne. Zar nije lakše preko prve navedene osobine gama funkcije prosto reći da je rezultat [inlmath]10!=3628800[/inlmath]. Ako ipak preferirate klasičnu parcijalnu, izvolite. Niko ne brani.
E sad malo o beta funkciji, pretpostavljam da ste nestrpljivi... Videćete do kraja posta i jedan jako dobar trik za rešavanje užasno smarajućeg trigonometrijskog integrala, verujte mi na reč. Dakle, beta funkcija je Ojlerova funkcija prve vrste i data je sa:
[dispmath]B(p,q)=\int\limits_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\mathrm dx\quad p>0\quad q>0[/dispmath]
Gama i beta funkcija povezane su relacijom:
[dispmath]B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}[/dispmath]
Evo konačno i obećanog integrala:
[dispmath]\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\sin^4x\cos^4x\mathrm dx[/dispmath]
Naravno da se može raditi preko elementarnih trigonometrijskih transformacija. Potrajalo bi. A šta da su sinus i kosinus na osmi stepen? To bi potrajalo duže.
Btw, ako su u ovakvim integralima sinus i kosinus
stepena različite parnosti, onda je lako rešiti ih bez cele ove priče oko beta i gama funkcije (kako?)
Evo na kraju i smene koja će ovaj integral svesti na beta funkciju: [inlmath]\sin^2x=t[/inlmath]
Ako je nekom ovo interesantno, uradiću ne samo ovaj nego i još poneki integral na istu temu