Gamma je napisao:Obavezno pogledaj onaj wolframov link, valjda oni znaju šta pišu.
Pogledao sam i ne mogu s tim da se složim.
Otprilike kontam šta žele da kažu. Zamislimo kompleksnu ravan. Korenujemo vrednost u tački [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath], tj. [inlmath]-1[/inlmath]. Pošto je u pitanju korenovanje u kompleksnom domenu, dobićemo dve vrednosti, koje odgovaraju tačkama [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath]. I sad, njihov je rezon da je svejedno koju ćemo od te dve tačke izabrati da bude imaginarna jedinica, jer, čak i ako izaberemo onu „donju“ tačku, [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath], to će biti slučaj koji je u odnosu na realnu osu simetričan slučaju da smo za imaginarnu jedinicu izabrali „gornju“ tačku, [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]. U odnosu na tako izabranu tačku, sve je u principu isto kao da smo izabrali onu koja je na [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]. Ne znam, meni je takav rezon (ako sam ga dobro shvatio) prilično šupljikav, jer opet se nismo izborili s činjenicom da korenovanje broja [inlmath]-1[/inlmath] ne daje jednoznačan rezultat, već daje
dva rezultata.
Gamma je napisao:[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt{2}i\cdot\sqrt2\cdot i=-4[/dispmath]
Naravno za ovo rješenje kaže i knjiga i Wolfram da je tačno. Ali kada bismo koristili [inlmath]i=-\sqrt{-1}[/inlmath] tada bi važilo [inlmath]\sqrt{-8}=\pm2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=\pm\sqrt2\cdot i[/inlmath] ova dva izraza ne bi bila jednoznačno određena, i ako uzmemo da je [inlmath]\sqrt{-8}=2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=-\sqrt2\cdot i[/inlmath] onda bi bilo
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt2i\cdot(-\sqrt2\cdot i)=4[/dispmath]
Ako ti ovo stvara nedoumicu, uvek prevedi te brojeve u eksponencijalni oblik:
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=\sqrt{8e^{i\left(\pi+2k\pi\right)}}\sqrt{2e^{i\left(\pi+2l\pi\right)}}=2\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=\\
=2\sqrt2\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=4e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+l\pi\right)}[/dispmath]
Pa sad imamo četiri slučaja:
[inlmath]\left(k,l\right)=\left(0,0\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{\pi}{2}}=4i\cdot i=4i^2=4\cdot\left(-1\right)=-4\\
\left(k,l\right)=\left(0,1\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{3\pi}{2}}=4i\cdot\left(-i\right)=-4i^2=-4\cdot\left(-1\right)=4\\
\left(k,l\right)=\left(1,0\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}\right)}=4e^{\large i\frac{3\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{\pi}{2}}=4\left(-i\right)\cdot i=-4i^2=-4\cdot\left(-1\right)=4\\
\left(k,l\right)=\left(1,1\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}=4e^{\large i\frac{3\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{3\pi}{2}}=4\left(-i\right)\cdot\left(-i\right)=4i^2=4\cdot\left(-1\right)=-4[/inlmath]
Prema tome, [inlmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}[/inlmath] daje dva tačna rezultata, [inlmath]-4[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath].
Gamma je napisao:[dispmath]x^2=-1[/dispmath][dispmath]|x|=\sqrt{-1}[/dispmath]
U ovom koraku ti je greška. Identitet [inlmath]\sqrt{x^2}=\left|x\right|[/inlmath] važi samo za operaciju korenovanja u
realnom domenu, i ne može se primeniti na kompleksni domen. Uostalom, sigurno primećuješ kakav si nonsens time dobio.
Dobio si da je
apsolutna vrednost (odnosno moduo u kompleksnom domenu), koja je, po definiciji, realan broj, i to pozitivan ili nula, jednaka korenu negativnog broja, koji sigurno ne može biti realan.
Prema tome, [inlmath]\left|x\right|=\sqrt{-1}[/inlmath] je, kao takav, potpuno besmislen.
Na levoj strani realna vrednost, na desnoj strani imaginarna.
desideri je napisao:@Gamma, nemoj gledati previše Wolfram, oni tamo uvedu i da može biti logaritam iz negativnog broja. Bilo je u vezi s tim diskusije i na Matemaniji, nego nemam sada vremena da tražim, naći ćete i to, garantujem da ima.
Jeste, to je bila
ova tema. Samo, nisam se u toj temi bunio što Wolfram ima logaritam negativnog broja (koji, kako i Trougao reče, postoji u kompleksnom domenu), već zato što su, zbog te želje za proširenjem na kompleksni domen, napravili zbrku u realnom, time što kao rezultat integraljenja [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath] ne daju rezultat [inlmath]\ln\left|x\right|+c[/inlmath] kako bi trebalo, već [inlmath]\ln\left(x\right)+c[/inlmath]... Uostalom, pročitaćete sve u toj temi na koju linkovah...
desideri je napisao:Klasična matematika je zasnovana na postulatima, aksiomama i definicijama. Jedan od njih je (evo opet):
[dispmath]i^2=-1[/dispmath]
Psssst...
Nemoj da te čuje ms.srki, jer ako sad krene sa svojom novom matematikom kompleksnih brojeva (tvrdeći kako je postojeća puna manjkavosti i šupljina), nadrljali smo ga...
desideri je napisao:I nemojte vaditi koren iz minus jedan, garantujem da se zato pada na ispitu
.
Kako to misliš? Pa evo, ja upravo u prethodnom postu izvadih koren iz minus jedan, i nikakve zamerke na to nisi imao. A ne verujem da bi imao ijedan profesor.
desideri je napisao:Svi profesori razmišljaju ortodoksno, klasično, i ne dozvoljavaju to što neću ni da citiram u formuli.
Nemoj tako, ne svi.
Možda većina, ali i ti i ja znamo časne izuzetke koji ne spadaju u tu većinu.
Trougao je napisao:Samo da se ispravim [inlmath]\ln(-a)=\ln(a)-i\pi[/inlmath]
Ne, nego baš treba s plusom, kako si prvobitno i bio napisao.