Gamma je napisao:I nas je učilo u školi da imaginarna jedinica nije jednoznačno određena.
Gamma je napisao:Kao što rekoh wolfram tretira izraz [inlmath]\sqrt{-8}\cdot\sqrt{-2}=-4[/inlmath] znači [inlmath]4[/inlmath] se nigdje ne spominje ali baš nigdje. Dok i u našim knjigama u rješenju takođe piše [inlmath]-4[/inlmath]. E sada da li je to neka slučajna štamparska greška ili stvarno su to s razlogom napisali ne znam.
Daniel je napisao:Mene bi zaista zanimalo da mi neko ko to tvrdi pokaže koje su to dve ili više tačaka u kompleksnoj ravni koje predstavljaju broj [inlmath]i[/inlmath]. A dok se to ne desi, ja ostajem pri stavu da [inlmath]i[/inlmath] jeste jednoznačno određeno, budući da ja znam samo za jednu takvu tačku u kompleksnoj ravni, a to je tačka [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath].
Gamma je napisao:Tj. jednoznačno je određena imaginarana jedinica ako je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] a nije kada je [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath].
Daniel je napisao:u realnom domenu je kvadratni koren jednoznačno određen, a u realnom nije.
Gamma je napisao:Mislim da nema nigdje slična tema. Pa eto, ja ću je otvoriti. Dok sam uzeo da ponovim kompleksne brojeve malo uopšteno naletio sam na ovu zabludu. U dosta knjiga kao i na wolframu tvrdi se za [inlmath]i[/inlmath] da je jednoznačno određen, [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] se tretira kao glavni korijen (principal root) od [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Recimo tako je i slučaj kod korijena pozitivnih realnih brojeva, glavni korijen je uvijek pozitivan. [inlmath]n[/inlmath]-ti korijen je definisan za [inlmath]\forall a\in\mathbb{R}^+\land\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] i on se tretira kao jedinstven pozitivan broj za koji važi [inlmath]b^n=a[/inlmath].
Evo našao sam ovo objašnjenje za imaginarnu jedinicu koje me je malo zbunilo . Pa me interesuje vaše mišljenje o svemu ovome. I moje mišljenje je isto kao na wolframu, ali po ovome drugome mnoge stavri bise zakomplikovale.
S obzirom da postoje tačno dva broja, [inlmath]i[/inlmath] i [inlmath]-i[/inlmath], čiji su kvadrati [inlmath]-1[/inlmath], prirodno je smatrati ih korijenim broja [inlmath]-1[/inlmath]. Šta više , moglo bi se pomisliti da je zgodno da se stavi recimo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i [inlmath]-i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovo je na žalost neizvodljivo. Nismo u mogućnosti da to jasno obrazložimo. Navodimo samo primjer koji pokazuje do kakvih protivrečnosti bi mogle da dovedu ove definicije.
[dispmath]1=\sqrt{1}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{(-1)(-1)}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]1=i^2[/dispmath][dispmath]1=-1[/dispmath]
Mislim da ovaj dokaz da je [inlmath]1=-1[/inlmath] nema neke velike veze s definicijom imaginarne jedinice. Jer pravilo [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/inlmath] važi samo ako su oba broja pozitivna. Naravno ovaj dokaz nije tačan. Sada ne znam na šta su oni tačno mislili.
Prema tome ne možemo da usvojimo prethodne definicje, već moramo da prihvatimo da izraz [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen, već da ima dvije vrijednosti; dakle [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]. Tu nastupa bitna razlika između korijena pozitivnih i negativnih realnih brojeva. Na primjer [inlmath]\sqrt{4}=2[/inlmath], ali [inlmath]\sqrt{-4}=\sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm2i[/inlmath]
Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju