od Onomatopeja » Nedelja, 13. Decembar 2015, 17:10
U redu, verujem da znas koje osobine bi trebale da budu ispunjeno da bi nesto bilo Abelova grupa. Ali, da, zaista izgleda da imas mali problem kako da te „teorijske“ uslove proveris u ovom konkretnom primeru. Zato, evo male pomoci. Naime, evo kako bismo proverili da vazi komutativnost u strukturi [inlmath](M_{m \times n}, +)[/inlmath], tj. da vazi [inlmath]a+b=b+a[/inlmath] za proizvoljne elemente [inlmath]a,b \in M_{m \times n}[/inlmath]. Naime, neka su
[dispmath]a = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \,\,\,\quad \text{ i } \,\,\,\quad b = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & b_{m3} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}[/dispmath]
reprezentacije posmatranih elemenata iz [inlmath]M_{m \times n}[/inlmath], za neke [inlmath]a_{ij},b_{ij} \in \mathbb{R}[/inlmath] (gde [inlmath]i=1,2,\ldots,m[/inlmath], [inlmath]j=1,2,\ldots,n[/inlmath]). Tada je (prema samoj definiciji sabiranja elemenata iz [inlmath]M_{m \times n}[/inlmath])
[dispmath]a+b = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & a_{m3} + b_{m3} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}.[/dispmath]
Kako u [inlmath]a_{ij},b_{ij} \in \mathbb{R}[/inlmath], to vazi [inlmath]a_{11}+b_{11} = b_{11}+a_{11}, a_{12}+b_{12}=b_{12}+a_{12}[/inlmath], i tako dalje (ako cemo bas da cepidlacimo, a i nije lose, to vazi jer je i [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] jedan vektorski prostor, posmatran nad samim sobom, te u njemu vazi komutativnost), to je jasno da je poslednji izraz jednak sa
[dispmath]\begin{bmatrix} b_{11} + a_{11} & b_{12} + a_{12} & b_{13} + a_{13} & \cdots & b_{1n} + a_{1n} \\ b_{21} + a_{21} & b_{22} + a_{22} & b_{23} + a_{23} & \cdots & b_{2n} + a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} + a_{m1} & b_{m2} + a_{m2} & b_{m3} + a_{m3} & \cdots & b_{mn} + a_{mn} \end{bmatrix},[/dispmath] sto je jasno jednako sa [inlmath]b+a[/inlmath].
Dakle, time smo pokazali da je [inlmath]a+b = b+a[/inlmath] za proizvoljne [inlmath]a,b \in M_{m \times n}[/inlmath], odnosno da u strukturi [inlmath](M_{m \times n}, +)[/inlmath] vazi komutativnost. Ostalo je da se pokazu ostale osobine da bi [inlmath](M_{m \times n}, +)[/inlmath] imalo strukturu Abelove (komutativne) grupe, a potom i ostale osobine vektorskog prostora. Ako bude problema, ti pitaj.
Takodje, napomenuo bih da sam koristio istu oznaku [inlmath]+[/inlmath] i za sabiranje u [inlmath]M_{m\times n}[/inlmath], i za sabiranje u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].