Hej, dobro nam došao!
Ja sam bio taj koji te pozvao.
Pretpostavljam da si dobio da je poslednja cifra [inlmath]1[/inlmath]?
Uočavamo pravilnost:
[inlmath]23^1\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]3[/inlmath];
[inlmath]23^2=23^1\cdot 23\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]9[/inlmath];
[inlmath]23^3=23^2\cdot 23\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]7[/inlmath];
[inlmath]23^4=23^3\cdot 23\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]1[/inlmath];
[inlmath]23^5=23^4\cdot 23\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]3[/inlmath];
[inlmath]\cdots[/inlmath]
[inlmath]23^{4k+1}\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]3[/inlmath];
[inlmath]23^{4k+2}\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]9[/inlmath];
[inlmath]23^{4k+3}\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]7[/inlmath];
[inlmath]23^{4k}\quad\rightarrow\quad[/inlmath]poslednja cifra je [inlmath]1[/inlmath].
A pošto je [inlmath]312[/inlmath] deljivo sa [inlmath]4[/inlmath], tj. [inlmath]312=4k[/inlmath], znači da je
[inlmath]23^{312}=23^{4k}=1[/inlmath]
Broj cifara:
[dispmath]23^{312}=10^{\log_{10}23^{312}}=10^{312\log_{10}23}[/dispmath]
Da bi broj [inlmath]10^{312x}[/inlmath] bio [inlmath]424[/inlmath]-cifren, tj. da bi bilo [inlmath]10^{423}\le 10^{312x}<10^{424}[/inlmath] mora biti [inlmath]423\le 312x<424[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{423}{312}\le x<\frac{424}{312}[/inlmath], tj. [inlmath]1,35577\le x<1,35897[/inlmath].
Isto tako, da bi broj [inlmath]10^{312x}[/inlmath] bio [inlmath]425[/inlmath]-cifren, tj. da bi bilo [inlmath]10^{424}\le 10^{312x}<10^{425}[/inlmath] mora biti [inlmath]424\le 312x<425[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{424}{312}\le x<\frac{425}{312}[/inlmath], tj. [inlmath]1,35897\le x<1,36218[/inlmath].
Pošto je [inlmath]\log_{10}23=1,36173[/inlmath], on spada u ovaj drugi interval, od [inlmath]1,35897[/inlmath] do [inlmath]1,36218[/inlmath], pa zaključujemo da je zadati broj [inlmath]425[/inlmath]-cifren.