Imam problem sa sledećim zadatkom:
Deleći interval integracije tako da apscise deonih tačaka obrazuju geometrijski niz, pokazati da je:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x^2}=\ln2.[/dispmath] Šta sam ja dosad uradio:
Umetnuo sam [inlmath]m[/inlmath] brojeva između [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], kako bi obrazovali potrebnu podelu. Dobio sam sledeću podelu [inlmath]P_n[/inlmath]:
[inlmath]P_n:\;1,2^\frac{1}{n},2^\frac{2}{n},\ldots,2^\frac{n-2}{n},2^\frac{n-1}{n},2.[/inlmath]
U svakoj podeli je razlika drugog i prvog člana najveća od svih razlika između susednih apscisa, pa je [inlmath]\lambda_n=\sqrt[n]2-1[/inlmath]. Niz ovih razlika teži nuli kada [inlmath]n[/inlmath] teži ka beskonačnom.
U [inlmath]n[/inlmath]-toj podeli sam za proizvoljnu tačku iz svakog podeoka [inlmath]\left(\sqrt[n]{2^i},\sqrt[n]{2^{i+1}}\right][/inlmath], uzeo tačku [inlmath]\xi_i=\sqrt[n]{2^{i+1}}[/inlmath], gde je [inlmath]i=1,2,\ldots,n-1[/inlmath]. Sada sam dobio sledeći integralnu sumu [inlmath]\sigma_n[/inlmath]:
[inlmath]\sigma_n=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{1}{\sqrt[k]{2^{i+1}}}\cdot\left(\sqrt[k]{2^{i+1}}-\sqrt[k]{2^i}\right)=\cdots=n-1+\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath].
Granična vrednost dobijene integralne sume kad [inlmath]n[/inlmath] teži ka beskonačnom nije [inlmath]\ln2[/inlmath]. Molim vas da mi kažete gde sam sve pogrešio.