Gogele je napisao:Prvo:
Gogele je napisao:Pošto je [inlmath]x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/inlmath] i [inlmath]x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/inlmath], sledi da su ovi izrazi veći od nule za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]
Ovaj deo u prvom postu mi nije bio potreban kako bih uradio bilo šta iz prvog posta (nije uticalo na zaključke koje sam ranije napravio, bez obzira na njihovu tačnost). Mislio sam da mi to možda treba kako bih mogao da kvadriram, ali nema uticaja.
Taj deo je i te kako potreban, kako bi se pokazalo da je izvod definisan za svako realno [inlmath]x[/inlmath] (potkorene veličine nenegativne i imenioci razlomaka različiti od nule).
Mada mislim da si izabrao komplikovaniji način. Po meni, jednostavnije je uočiti da je diskriminanta oba kvadratna trinoma (i [inlmath]x^2-x+1[/inlmath] i [inlmath]x^2+x+1[/inlmath]) negativna, pa pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, lako se zaključuje da je vrednost i jednog i drugog trinoma pozitivna za svako realno [inlmath]x[/inlmath].
Drugo, njihova pozitivnost sledi i iz formule [inlmath]x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)[/inlmath], odnosno [inlmath]x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)[/inlmath]. Naime, u formuli [inlmath]x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)[/inlmath], iz monotonosti funkcije [inlmath]x^3[/inlmath] sledi da faktori [inlmath]x^3+1[/inlmath] i [inlmath]x+1[/inlmath] moraju biti istog znaka za svako realno [inlmath]x[/inlmath], odakle sledi da faktor [inlmath]x^2-x+1[/inlmath] mora biti pozitivan za svako realno [inlmath]x[/inlmath]. Slično i za drugu formulu, tj. za faktor [inlmath]x^2+x+1[/inlmath].
Čak je ponekad dozvoljeno da se pozitivnost izraza [inlmath]x^2-x+1[/inlmath] i [inlmath]x^2+x+1[/inlmath] prihvata kao nešto što je po defaultu poznato, tj. ne traži se dokazivanje.
Gogele je napisao:Drugo:
Zadnja jednakost koja nije tačna za [inlmath]x=0[/inlmath] je [inlmath](2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}[/inlmath].
Prva jednakost koja je tačna za [inlmath]x=0[/inlmath] je [inlmath](2x+1)^2\left(x^2-x+1\right)=(2x-1)^2\left(x^2+x+1\right)[/inlmath].
Upravo.
Znači, do greške je došlo prilikom kvadriranja.
Gogele je napisao:Znači da nisam trebao da kvadriram.
Ne.
Svakako je trebalo kvadrirati, jer se ne bi mogla drugačije rešiti jednačina. Ali, prilikom kvadriranja nisi postavio sve potrebne uslove.
Dakle, pre kvadriranja imamo:
[dispmath](2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}[/dispmath] Kvadriranjem se gubi informacija o znaku (npr. kad bismo imali jednakost [inlmath]-1=1[/inlmath], koja je očigledno netačna, nakon kvadriranja bi postala [inlmath]1=1[/inlmath], čime bismo od netačne jednakosti dobili tačnu jer nismo vodili računa o uslovima). Zbog toga treba da diskutujemo na sledeći način. Imamo uslov da i leva i desna strana jednačine moraju biti istog znaka. Zbog toga što su [inlmath]\sqrt{x^2-x+1}[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x^2+x+1}[/inlmath] uvek pozitivni, oni nemaju uticaja na znak leve, odnosno desne strane, te ostaje da faktori [inlmath]2x+1[/inlmath] i [inlmath]2x-1[/inlmath] moraju biti istog znaka (ili oba pozitivna, ili oba negativna). To možemo zapisati i kao [inlmath](2x-1)(2x+1)\ge0[/inlmath], jer proizvod dve veličine koje su istog znaka (ili eventualno nula) mora biti pozitivan (ili eventualno nula). To se, opet, može zapisati i kao [inlmath]4x^2-1\ge0[/inlmath] (ako ti je tako lakše da rešiš nejednačinu ovog uslova). Dobije se da je uslov [inlmath]x\in\Bigl(-\infty,-\frac{1}{2}\Bigr]\cup\Bigl[\frac{1}{2},+\infty\Bigr)[/inlmath]. (To je u skladu i s onim što si zapazio, da će dve strane imati suprotan znak za [inlmath]x\in\left(\frac{-1}{2},\frac{1}{2}\right)[/inlmath].)
Nakon postavljanja uslova [inlmath]x\in\Bigl(-\infty,-\frac{1}{2}\Bigr]\cup\Bigl[\frac{1}{2},+\infty\Bigr)[/inlmath], smemo bezbedno kvadrirati obe strane. Pošto ćemo kao jedino rešenje dobiti nulu, a nula ne ispunjava malopre postavljeni uslov, zaključujemo da jednačina nema rešenja.