Lakše malo
, sumnjam da će neko hteti da ti uradi šest zadataka. Jedna napomena, trebalo je da koristiš Latex i u tekstu i gde si pisao m>0, m<1... i da napišeš neki postupak.
Ja ću ti dati instrukcije kako se radi koji zadatak, a ako negde zapne - slobodno pitaj.
Da li su ti poznata Vietova (ili Vijetova) pravila? Pošto pretpostavljam da tebi treba samo za kvadratnu jednačinu, ta ću i napisati, ali čisto da znaš da ih ima i za jednačine viših stepena. Dakle, ako je kvadratna jednačina oblika [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath], a [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] koreni/nule/rešenja te jednačine onda je:
[dispmath]x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\
x_1x_2=\frac{c}{a}[/dispmath] U suštini skoro svi zadaci koje si naveo se svode na korišćenje pomenutih formula.
1. Čini mi se da si nejasno formulisao ovaj zadatak, kako sam ja protumačio traži se najveća vrednost izraza [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath]. Ako je to tačno, onda samo iz [inlmath]x_1+x_2=-\frac{a}{1}[/inlmath] kvadriranjem dobiješ [inlmath]x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=\frac{a^2}{1^2}[/inlmath] i imaš [inlmath]x_1x_2=\frac{a^2+a-5}{1}[/inlmath]. Kad pomnožiš drugu sa [inlmath]2[/inlmath] i oduzmeš od prve dobićeš čemu je [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath] jednako. Odatle bi trebalo da uočiš za koju vrednost [inlmath]a[/inlmath] je taj izraz maksimalan.
2. Treba da sastaviš kvadratnu jednačinu. Imaš [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] trebalo bi da nađeš koliko iznose [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2[/inlmath]. I to zameniš u opšti oblik [inlmath]ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/inlmath].
3. Ovde rastaviš zbir kubova kao [inlmath]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)[/inlmath]. Sada samo primeniš Vietova pravila.
4. Da se ne ponavljam, vrlo slično ako i u prethodna 3 primeniš Vietove formule.
5. Ovde ti Vietove formule nisu potrebne. Nisam siguran da li sam razumeo kako si ti radio, ali mi "miriše" da je dobro. Da bi za svako realno [inlmath]x[/inlmath] nejednačina bila veća od nule potrebno je da diskriminanta bude manja od nule i da je koeficijent uz [inlmath]x^2[/inlmath] veći od nule.
6. Rešiš ovu jednačinu. Treba još da znaš da je [inlmath]x^{-3}=\frac{1}{x^3}[/inlmath]. Onda radiš isto kao i 2. zadatak.