od Daniel » Sreda, 10. Maj 2017, 09:27
A evo i tog drugog načina (kô što rekoh, nije po šablonu, al' je meni zanimljiviji). Jednačina ravni koja je paralelna datoj ravni [inlmath]2y−3z=0[/inlmath] biće oblika [inlmath]2y−3z+c=0[/inlmath], gde je [inlmath]c[/inlmath] promenljiv parametar. Rešenje sistema koji čine data funkcija i ravan paralelna datoj ravni, [inlmath]z=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}[/inlmath] i [inlmath]2y−3z+c=0[/inlmath], predstavljaće njihov presek. Pošto je potrebno da data ravan bude tangencijalna ravan na graf te funkcije, sledi da ovaj sistem mora imati tačno jedno rešenje po [inlmath]x[/inlmath], po [inlmath]y[/inlmath] i po [inlmath]z[/inlmath].
Ako jednačinu ravni napišemo kao [inlmath]z=\frac{2}{3}y+\frac{c}{3}[/inlmath] i zatim izjednačimo desne strane ove dve jednačine, dobićemo
[dispmath]\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}=\frac{2}{3}y+\frac{c}{3}[/dispmath] Zatim, uz malo transformacije,
[dispmath]\frac{x^2}{8}+\frac{y^2-12y}{18}=\frac{c}{3}\\
\frac{x^2}{8}+\frac{y^2-12y+36}{18}=\frac{c}{3}+2\\
\frac{x^2}{8}+\frac{(y-6)^2}{18}=\frac{c}{3}+2[/dispmath] prepoznajemo u ovome jednačinu elipse, što znači da će, kada je [inlmath]\frac{c}{3}+2[/inlmath] pozitivno, projekcija preseka na [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan biti elipsa (projekcija na [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan jer smo izjednačavanjem desnih strana jednačina eliminisali koordinatu [inlmath]z[/inlmath]), dok kada je [inlmath]\frac{c}{3}+2[/inlmath] negativno, presek će biti prazan skup (tj. graf funkcije i ravan neće imati zajedničkih tačaka), a kada je [inlmath]\frac{c}{3}+2[/inlmath] jednako nuli, projekcija preseka će biti tačka (upravo onaj slučaj koji nas interesuje. Odatle sledi da mora biti [inlmath]c=-6[/inlmath], a jednačina tražene ravni će glasiti [inlmath]2y−3z-6=0[/inlmath].
Nakon toga se vrlo lako mogu odrediti i koordinate dodirne tačke. Jednačina se tada svodi na [inlmath]\frac{x^2}{8}+\frac{(y-6)^2}{18}=0[/inlmath], pa je jasno da odatle moraju oba sabirka biti jednaka nuli, tj. [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=6[/inlmath]. Iz jednačine [inlmath]z=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}[/inlmath] ili iz jednačine [inlmath]2y−3z-6=0[/inlmath] lako se dobije i da je [inlmath]z=2[/inlmath]. Prema tome, dodirna tačka je [inlmath](0,6,2)[/inlmath]. Ovime je potvrđena jedinstvenost rešenja i za [inlmath]z[/inlmath], a samim tim i jedinstvenost zajedničke tačke grafa funkcije i ravni.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain