A da l' ste radili vektore? Vektorski je moguće dokazati (vidi sliku) da je [inlmath]\vec{BA}+\vec{CD}[/inlmath] paralelno sa [inlmath]\vec{NM}[/inlmath]:
[dispmath]\vec{BA}=\vec{BN}+\vec{NM}+\vec{MA}\\
\underline{\vec{CD}=\vec{CN}+\vec{NM}+\vec{MD}}\\
\vec{BA}+\vec{CD}=\cancel{\vec{BN}}+\cancel{\vec{CN}}+2\vec{NM}+\bcancel{\vec{MA}}+\bcancel{\vec{MD}}\\
\Longrightarrow\quad\vec{BA}+\vec{CD}=2\vec{NM}[/dispmath]
- uglovi.png (1.75 KiB) Pogledano 500 puta
Nije nam bitan intenzitet zbira vektora [inlmath]\vec{BA}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CD}[/inlmath], već je samo bitno to što odavde sledi da je taj vektorski zbir paralelan s vektorom [inlmath]\vec{NM}[/inlmath].
U produžetku stranice [inlmath]CA[/inlmath] odaberemo tačku [inlmath]T[/inlmath] takvu da je [inlmath]CD=AT[/inlmath] (obeleženo narandžasto na slici). Kako smo pokazali da je [inlmath]\vec{BA}+\vec{CD}[/inlmath] paralelno sa [inlmath]\vec{NM}[/inlmath], to će biti i [inlmath]\vec{BA}+\vec{AT}[/inlmath] paralelno sa [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] (budući da je [inlmath]\vec{AT}=\vec{CD}[/inlmath]), a pošto je [inlmath]\vec{BT}=\vec{BA}+\vec{AT}[/inlmath], znači da je [inlmath]BT\parallel NM[/inlmath]. Odatle je, naravno, i [inlmath]BT\parallel MS[/inlmath].
Odatle sledi sličnost trouglova [inlmath]\triangle ATB\sim\triangle AMS[/inlmath], a pošto je [inlmath]\triangle ATB[/inlmath] jednakokraki (jer je [inlmath]AB=AT[/inlmath]), sledi i da je [inlmath]\triangle AMS[/inlmath] jednakokraki ([inlmath]AM=AS[/inlmath]), a odatle i da je ugao [inlmath]\angle ASM[/inlmath] jednak uglu [inlmath]\angle AMS[/inlmath], tj. jednak je uglu [inlmath]\alpha[/inlmath].
Odatle je traženi ugao [inlmath]\angle BAC[/inlmath], naravno, jednak [inlmath]\angle BAC=180^\circ-\angle SAM=180^\circ-(180^\circ-2\alpha)=2\alpha[/inlmath].