Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Krug upisan u deltoid

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Krug upisan u deltoid

Postod Aleksandargimnazija » Utorak, 27. Jun 2017, 13:13

Da li postoji neka odredjena formula za izračunavanje poluprečnika kruga upisanog u deltoid? :)
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Krug upisan u deltoid

Postod mala_mu » Utorak, 27. Jun 2017, 17:46

Pozdrav :D

Može se lako izvesti formula. Pa da počnemo.
Neka je četverougao [inlmath]ABCD[/inlmath] deltoid, takav da je [inlmath]AB=BC=a,\;AD=CD=b,\;AC=d_1[/inlmath] i [inlmath]BD=d_2[/inlmath]. Ugao [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]\alpha[/inlmath] i ugao [inlmath]ADC[/inlmath] je [inlmath]\beta[/inlmath], dijagonale se sijeku u [inlmath]H[/inlmath].

Uočimo sada trougao [inlmath]BCH[/inlmath] vidimo da je [inlmath]d_1=2a\cdot\sin\frac{\alpha}{2}[/inlmath], isto tako za trougao [inlmath]CDH[/inlmath] je [inlmath]d_1=2b\cdot\sin\frac{\beta}{2}[/inlmath] [inlmath](1)[/inlmath].
Na ove trouglove primijenimo Pitagorinu teoremu, pa imamo: [inlmath](2)[/inlmath]
[dispmath]DH=\sqrt{b^2-\frac{d_1^2}{4}}\\
BH=\sqrt{a^2-\frac{d_1^2}{4}}[/dispmath] Uočavamo još da je [inlmath]DB=DH+HB=d_2[/inlmath] [inlmath](3)[/inlmath]
Zatim u [inlmath](3)[/inlmath] uvrstimo [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath] pa dobijamo:
[dispmath]d_2=a\cdot\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}}+b\cdot\sqrt{1-\sin^2\frac{\beta}{2}}=a\cdot\cos\frac{\alpha}{2}+b\cdot\cos\frac{\beta}{2}[/dispmath] Neka je prava [inlmath]SP=r[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]AD[/inlmath], prava [inlmath]SQ=r[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]CD[/inlmath], prava [inlmath]SR=r[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]AB[/inlmath], i prava [inlmath]SM=r[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]BC[/inlmath], naravno tačka [inlmath]S[/inlmath] je centar upisane kružnice u naš deltoid. Jasno je zašto su prave normalne. Ugao između poluprečnika i tangente je prav.
Sada ćemo uočiti neke slične trouglove.
Trougao [inlmath]PDS[/inlmath] je sličan trouglu [inlmath]HDA[/inlmath], odakle imamo da je [inlmath]\frac{DS}{DA}=\frac{PS}{HA}[/inlmath], tj.
[inlmath]\frac{DS}{b}=\frac{r}{\frac{d_1}{2}}[/inlmath], što će reći da je [inlmath]DS=\frac{2\cdot r\cdot b}{d_1}[/inlmath].
Analogno iz sličnosti trouglova [inlmath]RBS[/inlmath] i [inlmath]HBA[/inlmath] slijedi [inlmath]BS=\frac{2\cdot r\cdot a}{d_1}[/inlmath].
Vidi se da je [inlmath]DS+BS=d_2[/inlmath]. Uvrštavanjem dobijamo [inlmath]r=\frac{d_1\cdot d_2}{2(a+b)}[/inlmath] [inlmath](4)[/inlmath].
Primjenom sinusne teoreme na trougao [inlmath]BCD[/inlmath], dobijamo [inlmath]\frac{a}{\sin\frac{\beta}{2}}=\frac{b}{\sin\frac{\alpha}{2}}[/inlmath] pa je [inlmath]a=\frac{b\cdot\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}[/inlmath]. Uvrštavanjem ovoga i [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath] u [inlmath](4)[/inlmath] i malo sređivanja dobija se formula za poluprečnik upisane kružnice u deltoid, koja glasi:
[dispmath]r=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\frac{\beta}{2}\left(a\cdot\cos\frac{\alpha}{2}+b\cdot\cos\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}}[/dispmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Krug upisan u deltoid

Postod Corba248 » Utorak, 27. Jun 2017, 18:41

@Aleksandargimnazija: Nisi dovoljno precizirao pitanje. Poluprečnik kružnice upisane u deltoid se može izračunati na razne načine, samo je pitanje u zavisnosti od čega. Formula koju je navela mala_mu se odnosi na vezu između poluprečnika upisane kružnice i stranica i uglova deltoida. Ja ću ti dati jednu u zavisnosti od površine i stranica.
Ako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] stranice, a [inlmath]P[/inlmath] površina deltoida onda je poluprečnik kružnice upisane u taj deltoid jednaka:
[dispmath]r=\frac{P}{a+b}[/dispmath]
Štaviše, površina bilo kog tangentnog četvorougla se može izračunati kao:
[dispmath]P=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot r[/dispmath] gde su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] stranice, a [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik upisane kružnice u taj četvorougao.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 350 puta

Re: Krug upisan u deltoid

Postod Daniel » Sreda, 28. Jun 2017, 08:57

Corba248 je napisao:Štaviše, površina bilo kog tangentnog četvorougla se može izračunati kao:
[dispmath]P=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot r[/dispmath] gde su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] stranice, a [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik upisane kružnice u taj četvorougao.

A pošto kod tangentnog četvorougla važi [inlmath]a+c=b+d[/inlmath], iz prethodne formule za površinu sledi i [inlmath]P=(a+c)r[/inlmath] i [inlmath]P=(b+d)r[/inlmath].
Koga zanima izvođenje, ima ga u ovom postu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7932
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4140 puta
Pohvaljen: 4215 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 19 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 28. Mart 2020, 22:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs